東京大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
回転軸は3本、回転方向は2通りで、計6通りである。上下面を貫く軸を選ぶ2通りでは1の目は上面に残り、他の4通りでは側面へ移る。よって$$p_1={\displaystyle \frac{1}{3}},q_1={\displaystyle \frac{2}{3}},r_1=0.$$(2)
上面または底面からは、確率 $1\mathrm{/}3$ で同じ位置に残り、確率 $2\mathrm{/}3$ で側面へ移る。側面からは、確率 $1\mathrm{/}6$ ずつで上面・底面へ、確率 $2\mathrm{/}3$ で側面へ移る。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1},}\\ {\displaystyle q_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{r}_{n-1},}\\ {\displaystyle r_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{r}_{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$p_{n-1}+q_{n-1}+r_{n-1}=1$$ だから$$q_n={\displaystyle \frac{2}{3}}(n\geqq 1)\mathrm{.}$$また第1式と第3式の差から$$p_n-r_n={\displaystyle \frac{1}{3}}(p_{n-1}-r_{n-1})=3^{-n}\mathrm{.}$$$p_n+r_n=1\mathrm{/}3$ と合わせると$$p_n={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3^n}},r_n={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3^n}}\mathrm{.}$$ゆえに$$p={\displaystyle \frac{1}{6}},q={\displaystyle \frac{2}{3}},r={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$

1の目の位置に、上面なら1、側面なら0、底面なら $-1$ を対応させる。この値とその平方の期待値を追うと、上下面の確率和と差が直接求まる。

(1)
6通りの回転のうち2通りで上面に残り、4通りで側面へ移るから$$p_1={\displaystyle \frac{1}{3}},q_1={\displaystyle \frac{2}{3}},r_1=0.$$(2)
上面・側面・底面からの6通りを数えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1},}\\ {\displaystyle q_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{r}_{n-1},}\\ {\displaystyle r_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{r}_{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
第 $n$ 回後の1の目に対し$$Z_n=\{\begin{array}{ll}1& (\text{上面}),\\ 0& (\text{側面}),\\ -1& (\text{底面})\end{array}$$と定める。このとき$$E[Z_n]=p_n-r_n,E[Z_n^2]=p_n+r_n\mathrm{.}$$現在の位置がどこであっても、6通りの回転のうち2通りで次の $Z$ は現在と同じ符号を保ち、残る寄与は正負が打ち消す。よって$$E[Z_n\mid Z_{n-1}]={\displaystyle \frac{1}{3}}{Z}_{n-1}\mathrm{.}$$$Z_0=1$ だから$$\begin{array}{cccc}& p_n-r_n=E[Z_n]=3^{-n}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$また現在の位置がどこであっても、次に1の目が上面または底面に来る回転は6通り中2通りである。したがって$$\begin{array}{cccc}& p_n+r_n=E[Z_n^2]={\displaystyle \frac{1}{3}}(n\geqq 1)\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1), (2) から$$p_n={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3^n}},r_n={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3^n}},q_n={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$ゆえに$$p={\displaystyle \frac{1}{6}},q={\displaystyle \frac{2}{3}},r={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$