東京大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

番号0の人と番号 $n$ の人が同じ色である確率を $P_n$ とする。番号 $n+1$ の人が番号0と同じ色になるのは

・番号 $n$ が同じ色で、次も同じ色を選ぶ場合

・番号 $n$ が異なる色で、次は異なる色を選ぶ場合

である。したがって$$P_{n+1}=p{P}_n+(1-p)(1-P_n)=(2p-1)P_n+1-p\mathrm{.}$$また $P_0=1$ である。ここで$$Q_n=P_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$とおくと$$Q_{n+1}=(2p-1)Q_n,Q_0={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって$$Q_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(2p-1{)}^n$$であり、求める確率は$$P_n={\displaystyle \frac{1+(2p-1{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$「番号0と同じか」だけを状態として残す

隣り合う2人の間で色が変わる事象を1回の反転と考える。番号0と番号 $n$ が同色であるための必要十分条件は、最初の $n$ 区間で反転回数が偶数になること。二項展開の偶数項だけを取り出す。

番号 $j-1$ から番号 $j$ へ進むとき、色が変わらない確率は $p$、色が変わる確率は $1-p$ である。番号0と番号 $n$ が同じ色になるのは、$n$ 回のうち色が変わった回数が偶数のとき、かつそのときに限る。

偶数回の項の和を $E$、奇数回の項の和を $O$ とする。二項展開より$$E+O=\{p+(1-p){\}}^n=1$$である。また、奇数回の項だけ符号を変えると$$E-O=\{p-(1-p){\}}^n=(2p-1{)}^n\mathrm{.}$$2式を加えて$$E={\displaystyle \frac{1+(2p-1{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$これが $P_n$ であるから$$P_n={\displaystyle \frac{1+(2p-1{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$$p=1$ なら常に同色、$p=0$ なら偶数番だけ同色となり、この式は端の場合にも一致する。