東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

3点は重複を許して無作為に選ぶので、全体の場合の数は $6^3=216$ である。2つ以上の点が一致した場合は面積0と定められているから、面積の総和に寄与するのは、3点がすべて異なる場合だけである。

異なる3頂点を順序を無視して選ぶ。正六角形の対称性により、面積は次の3種類に分けられる。

3点が連続する3頂点である場合、三角形の面積は ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$ であり、このような選び方は6通りである。

3点のうち、円周上の間隔が $1,2,3$ となる場合、面積は ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ であり、このような選び方は12通りである。

1つおきの3頂点を選ぶ場合、正三角形になり、面積は ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$ である。このような選び方は2通りである。

したがって、順序を無視した面積の総和は$$6\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+12\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+2\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}=9\sqrt{3}$$である。3点を選ぶ順序を考えると、それぞれの三角形は $3!=6$ 通りに現れる。重複を含む場合は面積0なので、期待値は $${\displaystyle \frac{6\cdot 9\sqrt{3}}{6^3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$ である。よって求める平均値は ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$ である。
\newpage

まず3点がすべて異なる確率を求める。
その条件下では20個の頂点集合が等確率なので、3種類の面積の平均を取り、最後に重複なしの確率を掛ける。

3点がすべて異なる確率は$${\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 4}{6^3}}={\displaystyle \frac{5}{9}}\mathrm{.}$$すべて異なるという条件の下では、20個の3頂点集合が等確率である。
連続3頂点が6個、間隔が $1,2,3$ のものが12個、1つおきのものが2個だから、
条件付き平均面積は$${\displaystyle \frac{1}{20}}(6\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+12\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+2\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}})={\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{20}}\mathrm{.}$$重複があるときの面積は0なので、求める期待値は$${\displaystyle \frac{5}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{20}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\mathrm{.}$$