東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
Aの表の枚数を $X$、Bの表の枚数を $Y$ とする。すると $$P(X=i)={\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_i}{2^4}}(i=0,1,2,3,4)$$ であり、$$P(Y=j)={\displaystyle \frac{{}_3{\mathrm{C}}_j}{2^3}}(j=0,1,2,3)$$ である。

Aが勝つ確率は$$P(X>Y)=\sum _{i=0}^{4}P(X=i)P(Y<i)$$である。各 $i$ について数えると$$P(X>Y)={\displaystyle \frac{4}{16}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{6}{16}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{8}}+{\displaystyle \frac{4}{16}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot 1$$である。よって $$P(X>Y)={\displaystyle \frac{64}{128}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

同様にBが勝つ確率は$$P(Y>X)={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{11}{16}}={\displaystyle \frac{29}{128}}$$である。したがって引き分けの確率は $$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{29}{128}}={\displaystyle \frac{35}{128}}$$ である。

よって$$P(A\text{ の勝ち})={\displaystyle \frac{1}{2}},P(B\text{ の勝ち})={\displaystyle \frac{29}{128}},P(\text{引き分け})={\displaystyle \frac{35}{128}}$$である。

(2)
Aが勝つと、Bの投げた50円硬貨3枚をもらうので、Aの利益は $150\text{円}$ である。Aが負けると、100円硬貨4枚をBに渡すので、Aの利益は $-400\text{円}$ である。引き分けでは利益は0円である。

したがってAの期待利益は$$150\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}-400\cdot {\displaystyle \frac{29}{128}}=75-{\displaystyle \frac{725}{8}}=-{\displaystyle \frac{125}{8}}$$円である。Aの期待利益が負であるから、Bの期待利益は正である。よって $B\text{ の方が有利である}$ である。

$X,Y$ の重みを整数係数 $1,4,6,4,1$ と $1,3,3,1$ で表し、
$5\times 4$ の表を対角線の上下に分ける。分母128の整数和として勝敗・引分を一度に得る。

(1)

$X=i,Y=j$ の確率は$${\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_i{}_3{\mathrm{C}}_j}{2^7}}$$である。分子だけを表にすると$$\begin{array}{cccccc}& i=0& 1& 2& 3& 4\\ j=0& 1& 4& 6& 4& 1\\ j=1& 3& 12& 18& 12& 3\\ j=2& 3& 12& 18& 12& 3\\ j=3& 1& 4& 6& 4& 1\end{array}$$となる。$i>j$、$i<j$、$i=j$ の部分を加えると、それぞれ$$64,29,35$$である。したがって$$P(A\text{勝})={\displaystyle \frac{1}{2}},P(B\text{勝})={\displaystyle \frac{29}{128}},P(\text{引分})={\displaystyle \frac{35}{128}}\mathrm{.}$$(2)

Aの期待利益は$$150\cdot {\displaystyle \frac{64}{128}}-400\cdot {\displaystyle \frac{29}{128}}=-{\displaystyle \frac{125}{8}}\text{円}\mathrm{.}$$よってBの方が有利である。