東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

条件より，任意の $n\geqq 0$ について $P(X+Y=n)=(n+1)p_{n+1}$ である。一方，$X$ と $Y$ は独立であり，どちらも同じ分布 $p_n$ をもつので $$P(X+Y=n)=\sum _{k=0}^{n}P(X=k)P(Y=n-k)=\sum _{k=0}^n{p}_k{p}_{n-k}$$ である。したがって $$\sum _{k=0}^n{p}_k{p}_{n-k}=(n+1)p_{n+1}$$ が成り立つ。

まず $n=0$ とすると $p_0^2=p_1$ である。ここから $p_n=p_0^{n+1}$ を数学的帰納法で示す。 $0\leqq k\leqq n$ で $p_k=p_0^{k+1}$ が成り立っていると仮定する。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (n+1)p_{n+1}}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^n{p}_k{p}_{n-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=0}^n{p}_0^{k+1}{p}_0^{n-k+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)p_0^{n+2}}\end{array}$$である。よって $p_{n+1}=p_0^{n+2}$ である。したがってすべての $n\geqq 0$ で $p_n=p_0^{n+1}$ が成り立つ。

確率の総和が1なので $$1=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_0^{n+1}$$ である。$p_0=0$ なら総和は0になり不適であり，確率の総和が有限であるため $0<p_0<1$ である。したがって $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_0^{n+1}={\displaystyle \frac{p_0}{1-p_0}}=1$$ より $$p_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。ゆえに $$p_n={\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}(n=0,1,2,\dots )$$ である。

最後に平均値を求める。$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{p}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{2^{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$$である。$\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }<1$ に対して $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{r}^n={\displaystyle \frac{r}{(1-r{)}^2}}$$ を用いると，$r=1\mathrm{/}2$ より $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=2$$ である。したがって $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{p}_n=1$$ である。

畳み込みの漸化式を最初の数項から読み、$p_n=p_0^{n+1}$ を帰納法で確定する。規格化条件から $p_0$ を決め、平均は等比級数をずらして差を取る方法で求める。

独立性より$$\begin{array}{cccc}& (n+1)p_{n+1}=\sum _{k=0}^n{p}_k{p}_{n-k}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$n=0$ で $p_1=p_0^2$ である。(1)へ $p_k=p_0^{k+1}$ を代入すれば右辺は $(n+1)p_0^{n+2}$ になるので、帰納法により$$p_n=p_0^{n+1}$$である。$$\sum p_n=1$$ であるから $0<p_0<1$ であり$$1={\displaystyle \frac{p_0}{1-p_0}}\mathrm{.}$$よって$$p_0={\displaystyle \frac{1}{2}},p_n={\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}\mathrm{.}$$平均を $$M=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\mathrm{/}{2}^{n+1}$$ とおく。添字をずらして $M\mathrm{/}2$ を引けば$${\displaystyle \frac{M}{2}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}},$$したがって$$M=1.$$