東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
まず $A^n$ を求める。主張は$$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}^n& 0\\ a^n-b^n& b^n\end{array}\right)$$である。$n=1$ では明らかに成り立つ。ある $n$ で成り立つとすると$$\left(\begin{array}{cc}{a}^n& 0\\ a^n-b^n& b^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ a-b& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^{n+1}& 0\\ a^{n+1}-b^{n+1}& b^{n+1}\end{array}\right)$$であるから，数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で成り立つ。

一次変換では，2点間の差ベクトルも同じ行列で移される。もとの3点について$$\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{QR}=\left(\begin{array}{c}1\mathrm{/}2\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{RP}=\left(\begin{array}{c}-1\mathrm{/}2\\ -1\end{array}\right)$$である。

したがって$$\overrightarrow{P_n{Q}_n}=A^n\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}0\\ b^n\end{array}\right)$$より $${\overline{P_n{Q}_n}}^2=b^{2n}$$ である。また$$\overrightarrow{Q_n{R}_n}=A^n\overrightarrow{QR}=\left(\begin{array}{c}{a}^n\mathrm{/}2\\ (a^n-b^n)\mathrm{/}2\end{array}\right)$$なので $${\overline{Q_n{R}_n}}^2={\displaystyle \frac{a^{2n}+(a^n-b^n{)}^2}{4}}$$ である。さらに$$\overrightarrow{R_n{P}_n}=A^n\overrightarrow{RP}=\left(\begin{array}{c}-a^n\mathrm{/}2\\ -(a^n+b^n)\mathrm{/}2\end{array}\right)$$だから $${\overline{R_n{P}_n}}^2={\displaystyle \frac{a^{2n}+(a^n+b^n{)}^2}{4}}$$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_n}& {\displaystyle =3b^{2n}+2\cdot {\displaystyle \frac{a^{2n}+(a^n-b^n{)}^2}{4}}+2\cdot {\displaystyle \frac{a^{2n}+(a^n+b^n{)}^2}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3b^{2n}+a^{2n}+{\displaystyle \frac{(a^n-b^n{)}^2+(a^n+b^n{)}^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3b^{2n}+a^{2n}+a^{2n}+b^{2n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a^{2n}+4b^{2n}}\end{array}$$である。

(2) $$a=1.1,b={\displaystyle \frac{1}{1.1}}$$ であるから $r={1.1}^2=1.21$ とおくと $f_n=2r^n+4r^{-n}$ である。

差を調べる。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_{n+1}-f_n}& {\displaystyle =2r^n(r-1)+4r^{-n}(r^{-1}-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(r-1)(2r^n-4r^{-n-1})}\end{array}$$である。$r>1$ なので，符号は $2r^n-4r^{-n-1}$ の符号で決まる。すなわち $$f_{n+1}-f_n<0⟺r^{2n+1}<2$$ である。

ここで $r^3={1.21}^3=1.771561<2$ なので $f_2-f_1<0$ である。一方 $r^5={1.21}^5>2$ なので $f_3-f_2>0$ である。さらに $r^{2n+1}$ は $n$ とともに増加するから，$n\geqq 2$ では $f_{n+1}-f_n>0$ である。

したがって $f_n$ は $n=2$ まで減少し，その後増加する。よって $n=2$ のとき最小である。

新しい座標 $\xi =x,\eta =y-x$ を使うと、一次変換は $\xi$ を $a$ 倍、$\eta$ を $b$ 倍するだけになる。3辺の差をこの座標で追い、重み付き和で交差項が消えることから $f_n$ を得る。

(1) 一次変換後の座標を $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ とすると$$x^{\mathrm{\prime }}=ax,y^{\mathrm{\prime }}=ax+b(y-x)\mathrm{.}$$そこで$$\xi =x,\eta =y-x$$とおけば$${\xi }^{\mathrm{\prime }}=a\xi ,{\eta }^{\mathrm{\prime }}=b\eta \mathrm{.}$$したがって $n$ 回後は $(\xi ,eta)\mapsto (a^n\xi ,b^n\eta )$ である。これを3辺の差へ適用して長さを計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n{Q}_n^2}& {\displaystyle =b^{2n},}\\ {\displaystyle Q_n{R}_n^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^{2n}+(a^n-b^n{)}^2}{4}},}\\ {\displaystyle R_n{P}_n^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^{2n}+(a^n+b^n{)}^2}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$f_n=2a^{2n}+4b^{2n}\mathrm{.}$$(2) $a=1.1,b=1\mathrm{/}1.1$ とし $r=1.21$ とおけば$$f_n=2r^n+4r^{-n}\mathrm{.}$$差の符号は$$f_{n+1}-f_n<0⟺r^{2n+1}<2$$である。$r^3<2<r^5$ だから $f_2<f_1$、$f_3>f_2$ となり、その後は増加する。したがって最小にする自然数は$$n=2$$である。