東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

楕円を$${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2\leqq 1$$とし、短軸方向の移動距離を$$d={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$$とする。$X=x\mathrm{/}2,Y=y$ とおけば二つの楕円は二つの単位円になり、元の面積は新しい座標での面積の2倍である。

二円の中心と交点を結ぶ半径のなす角を $\theta$ とすると$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}},$$したがって $\theta =5\pi \mathrm{/}12$ である。単位円の共通部分の面積 $L$ は二つの弓形の和だから$$L=2(\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta )\mathrm{.}$$ここで $$\sin 2\theta =\sin (5\pi \mathrm{/}6)=1\mathrm{/}2$$ より$$L={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$面積倍率を戻すと$$M=2L={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}-1\mathrm{.}$$

同じ単位円への変換後、共通部分を中心線の中点で上下に分ける。上半分では原点中心の円の横幅が狭いので、その半幅 $\sqrt{1-Y^2}$ を積分し、三角置換で値を求める。

$X=x\mathrm{/}2,Y=y$ により、中心 $(0,0)$ と $(0,d)$ をもつ二つの単位円へ直す。共通部分は直線 $Y=d\mathrm{/}2$ に関して対称であり、$Y\geqq d\mathrm{/}2$ では原点中心の円の方が横幅を制限する。したがってその面積 $L$ は$$L=4{\int }_{d\mathrm{/}2}^1\sqrt{1-Y^2}dY\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{d}{2}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$$である。$Y=\sin t$ とおけば、積分範囲は $\pi \mathrm{/}12\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ となるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =4{\int }_{\pi \mathrm{/}12}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2}tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2t+\sin 2t]}_{\pi \mathrm{/}12}^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi -(\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$元の楕円では面積が2倍になるので$$M={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}-1$$である。