東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

平方完成すると$$f(x)=2(x-a{)}^2+a-a^2$$であり、軸は $x=a$ である。

$a<0$ のとき、区間では $x=0$ で最小となるから$$m=f(0)=a(a+1)\mathrm{.}$$よって $m=0$ の候補は $a=-1,0$ であるが、$a<0$ より $a=-1$ だけが残る。

$0\leqq a\leqq 3$ のとき、軸が区間内にあるから$$m=f(a)=a(1-a)\mathrm{.}$$したがって $a=0,1$ であり、どちらもこの範囲に入る。

$a>3$ のとき、区間では $x=3$ で最小となるから$$m=f(3)=a^2-11a+18=(a-2)(a-9)\mathrm{.}$$候補 $a=2,9$ のうち、条件を満たすのは $a=9$ である。以上より$$a=-1,0,1,9$$である。

最小値が0であることを、区間内でグラフが横軸より下へ出ず、どこかで横軸に接することと言い換える。接点が左端、内部、右端にある場合を、関数値と微分係数の符号で調べる。

二次関数は上に開く。したがって最小値が0となる点は、左端 $x=0$、区間内部の頂点、右端 $x=3$ のいずれかである。

左端で最小値0をとるには$$f(0)=a(a+1)=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=-4a\geqq 0$$が必要十分である。これより $a=-1,0$ を得る。

$0<x<3$ の内部で最小値0をとるなら、その点は軸 $x=a$ であり$$0<a<3,f(a)=a(1-a)=0$$である。よって $a=1$ を得る。なお $a=0$ は左端の場合ですでに得ている。

右端で最小値0をとるには$$f(3)=(a-2)(a-9)=0,f^{\mathrm{\prime }}(3)=12-4a\leqq 0$$が必要十分である。したがって $a=9$ である。ゆえに$$a=-1,0,1,9$$となる。