東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

平行移動後の放物線 $C$ は $y=(x-a{)}^2+b$ である。$C$ と $$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$ が $(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$ で接するとする。ただし $t>0$ である。

値が一致する条件は $$(t-a{)}^2+b={\displaystyle \frac{1}{t}}$$ である。また傾きが一致する条件は $$2(t-a)=-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}$$ である。後者より $$a=t+{\displaystyle \frac{1}{2t^2}}$$ であり、これを前者に代入すると $$b={\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{4t^4}}$$ となる。したがって存在範囲は$$a=t+{\displaystyle \frac{1}{2t^2}},b={\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{4t^4}}(t>0)$$で表される曲線である。

概形を確認する。$t\to 0+$ では $a\to \mathrm{\infty }$、$b\to -\mathrm{\infty }$ である。$t=1$ では $$(a,b)=({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$$ であり、$t\to \mathrm{\infty }$ では $a\to \mathrm{\infty }$、$b\to 0+$ である。また$${\displaystyle \frac{da}{dt}}=1-{\displaystyle \frac{1}{t^3}},{\displaystyle \frac{db}{dt}}=-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}+{\displaystyle \frac{1}{t^5}}$$なので、$t=1$ で $a$ は最小、$b$ は最大になる。したがって曲線は右下から上がって $({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$ に達し、その後、右へ下がりながら $b=0$ に近づく。

次に、接点以外の共有点を調べる。共有点の $x$ 座標は $x\{(x-a{)}^2+b\}-1=0$ を満たす。上で得た $a,b$ を代入すると $$x\{(x-a{)}^2+b\}-1={\displaystyle \frac{(x-t{)}^2(t^{2}x-1)}{t^2}}$$ と因数分解される。$x=t$ は接点なので重解であり、残りの共有点の候補は $$x={\displaystyle \frac{1}{t^2}}$$ である。接点以外に共有点を持たないためには、この根が接点の $x$ 座標と一致すればよい。すなわち $${\displaystyle \frac{1}{t^2}}=t$$ である。$t>0$ より $t=1$ となる。よって $$a={\displaystyle \frac{3}{2}},b={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

関数 $h_a(x)=1\mathrm{/}x-(x-a{)}^2$ を考えると、放物線との共有点は $h_a(x)=b$、接触は $h_a^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ に対応する。停留点を $t$ として $a,b$ を求め、水平線 $y=b$ との残りの交点を因数分解で判定する。

$x>0$ で$$h_a(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-(x-a{)}^2$$とおく。二曲線の共有点は $h_a(x)=b$ を満たし、接する点ではさらに $h_a^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ である。接点を $x=t>0$ とすると$$-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}-2(t-a)=0$$より$$a=t+{\displaystyle \frac{1}{2t^2}}\mathrm{.}$$また$$b=h_a(t)={\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{4t^4}}\mathrm{.}$$したがって存在範囲は$$(a,b)=(t+{\displaystyle \frac{1}{2t^2}},{\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{4t^4}})(t>0)$$で表される曲線である。$${\displaystyle \frac{da}{dt}}=1-{\displaystyle \frac{1}{t^3}},{\displaystyle \frac{db}{dt}}=-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}+{\displaystyle \frac{1}{t^5}}$$なので、$t=1$ で $a$ は最小、$b$ は最大となる。両端の極限と合わせると、曲線は右下から $(3\mathrm{/}2,3\mathrm{/}4)$ へ上がり、その後は右へ進みながら $b=0$ の上側へ近づく。

共有点の方程式へ上の $a,b$ を代入すると$$x\{(x-a{)}^2+b\}-1={\displaystyle \frac{(x-t{)}^2(t^{2}x-1)}{t^2}}\mathrm{.}$$正の根 $x=1\mathrm{/}{t}^2$ が接点 $x=t$ と一致するときに限って、接点以外の共有点がない。よって $t^3=1$、すなわち $t=1$ であり$$a={\displaystyle \frac{3}{2}},b={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$