東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

与えられた関数は $f(t)=2b{t}^2+2at+1-b$ である。

【$b\leqq 0$ の場合】
このとき $f(t)$ は上に凸、または1次式である。区間 $[-1,1]$ での最小値は端点のどちらかでとる。したがって $f(1)=1+b+2a\geqq 0,$ $f(-1)=1+b-2a\geqq 0$ が必要十分である。これは $$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}$$ を意味する。右辺が0以上でなければならないので、$b\geqq -1$ も必要である。よって $$-1\leqq b\leqq 0,\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}$$ である。

【$b>0$ の場合】
このとき $f(t)$ は下に凸である。まず端点で非負であるためには、同じく $$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}$$ が必要である。頂点は $$t=-{\displaystyle \frac{a}{2b}}$$ である。 $$0<b\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ では、端点条件 $$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}$$ のもとで、頂点が区間内に入る場合にも $$f(-{\displaystyle \frac{a}{2b}})=1-b-{\displaystyle \frac{a^2}{2b}}\geqq 0$$ が自動的に成り立つ。実際、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq 2b$ なら $a^2\leqq 4b^2\leqq 2b(1-b)$ である。したがって $$0<b\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}},\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}$$ でよい。 $$b\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ では、端点条件だけでは頂点で負になることがある。頂点が区間内にある範囲での条件は $1-b-{\displaystyle \frac{a^2}{2b}}\geqq 0$ すなわち $a^2\leqq 2b(1-b)$ である。この条件が成り立つには $b\leqq 1$ である。よって $${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq b\leqq 1,a^2\leqq 2b(1-b)$$ となる。

以上をまとめると、求める範囲は $$-1\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}},\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}$$ で表される部分と、$${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq b\leqq 1,a^2\leqq 2b(1-b)$$ で表される部分の和集合である。図示では、前者は直線 $$a=\pm {\displaystyle \frac{1+b}{2}}$$ に挟まれた領域、後者は放物線型の境界 $a^2=2b(1-b)$ の内側であり、両者は $$b={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ で滑らかにつながる。

端点条件を先に $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq (1+b)\mathrm{/}2$ とまとめる。$b>0$ では平方完成し、頂点が区間外なら端点条件、区間内なら頂点条件 $a^2\leqq 2b(1-b)$ を使う。二条件の境界が $b=1\mathrm{/}3$ で交わることを確認する。

まず端点で非負であるための条件は$$1+b\pm 2a\geqq 0,\text{すなわち}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}\mathrm{.}$$したがって必ず $b\geqq -1$ である。

$b\leqq 0$ なら $f(t)$ は上に凸または1次式なので、端点条件だけで十分である。よって$$-1\leqq b\leqq 0,\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}\mathrm{.}$$$b>0$ なら$$f(t)=2b{(t+{\displaystyle \frac{a}{2b}})}^2+1-b-{\displaystyle \frac{a^2}{2b}}\mathrm{.}$$頂点が区間内にある条件は $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq 2b$ であり、その場合の条件は$$a^2\leqq 2b(1-b)\mathrm{.}$$一方、頂点が区間外なら最小値は端点でとるので、先の端点条件だけでよい。

$0<b\leqq 1\mathrm{/}3$ では、頂点が区間内なら$$a^2\leqq 4b^2\leqq 2b(1-b)$$となり、端点条件だけで十分である。$b\geqq 1\mathrm{/}3$ では頂点条件が境界となり、この条件から $b\leqq 1$ も従う。

したがって求める領域は$$-1\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}},\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1+b}{2}}$$と$${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq b\leqq 1,a^2\leqq 2b(1-b)$$の和集合である。