東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

まず極大点を求める。導関数は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2ax-a^2=(3x+a)(x-a)$$ である。$a>0$ なので、臨界点は $$x=-{\displaystyle \frac{a}{3}},x=a$$ である。さらに $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-2a$ だから、$$x=-{\displaystyle \frac{a}{3}}$$ では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4a<0$ となり、ここで極大となる。したがって $$b=-{\displaystyle \frac{a}{3}}$$ である。

このとき $$f(b)=f(-{\displaystyle \frac{a}{3}})={\displaystyle \frac{5a^3}{27}}$$ であり、極大点での接線は水平だから $$y={\displaystyle \frac{5a^3}{27}}$$ である。曲線との交点を求めるため、$x=au$ とおく。すると $f(x)=a^3(u^3-u^2-u)$ であり、交点条件は $$u^3-u^2-u={\displaystyle \frac{5}{27}}$$ である。整理すると $$u^3-u^2-u-{\displaystyle \frac{5}{27}}=0$$ で、これは $${(u+{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2(u-{\displaystyle \frac{5}{3}})=0$$ と因数分解できる。したがって接線と曲線で囲まれる部分は、$$u=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ から $$u={\displaystyle \frac{5}{3}}$$ までである。

この区間では接線が曲線の上にあるので$$S={\int }_{-a\mathrm{/}3}^{5a\mathrm{/}3}\{{\displaystyle \frac{5a^3}{27}}-f(x)\}dx$$である。$x=au$、$dx=adu$ を用いると$$S=a^4{\int }_{-1\mathrm{/}3}^{5\mathrm{/}3}\{{\displaystyle \frac{5}{27}}-(u^3-u^2-u)\}du$$となる。被積分関数は$${\displaystyle \frac{5}{27}}-(u^3-u^2-u)=-{(u+{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2(u-{\displaystyle \frac{5}{3}})$$であり、積分を計算すると$${\int }_{-1\mathrm{/}3}^{5\mathrm{/}3}\{{\displaystyle \frac{5}{27}}-(u^3-u^2-u)\}du={\displaystyle \frac{4}{3}}$$となる。よって求める面積は$$S={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^4$$である。

横軸を $a$、縦軸を $a^3$ で規格化し、さらに極大点を原点へ移す。接線と曲線の差が $v^2(2-v)$ となるので、交点と面積を同じ因数分解から同時に読み取る。

導関数$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(3x+a)(x-a)$$より、極大点は $b=-a\mathrm{/}3$ であり$$f(b)={\displaystyle \frac{5a^3}{27}}\mathrm{.}$$ここで$$x=a(v-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$とおく。すると $dx=adv$ であり、水平接線と曲線の高さの差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{5a^3}{27}}-f(x)}& {\displaystyle =a^3\{{\displaystyle \frac{5}{27}}-{(v-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^3+{(v-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2+(v-{\displaystyle \frac{1}{3}})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^3{v}^2(2-v)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、二つの交点は $v=0,2$ に対応し、その間では差は非負である。求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =a^4{\int }_0^2{v}^2(2-v)dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^4{[{\displaystyle \frac{2v^3}{3}}-{\displaystyle \frac{v^4}{4}}]}_0^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^4\mathrm{.}}\end{array}$$