東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$z$ を固定すると断面は$$x\geqq 0,y\geqq 0,x+y\leqq 3-z,x\leqq 4-2z,y\leqq z+1$$で表される。

$0\leqq z\leqq 1$ では $x\leqq 4-2z$ は自動的に満たされ、
$y\leqq z+1$ が上部を切る。したがって$$A(z)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{(3-z{)}^2-(2-2z{)}^2\}\mathrm{.}$$$1\leqq z\leqq 2$ では $y\leqq z+1$ は自動的に満たされ、
$x\leqq 4-2z$ が右部を切るから$$A(z)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{(3-z{)}^2-(z-1{)}^2\}\mathrm{.}$$よって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^1{\displaystyle \frac{(3-z{)}^2-(2-2z{)}^2}{2}}dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_1^2{\displaystyle \frac{(3-z{)}^2-(z-1{)}^2}{2}}dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{2}}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$

$x+y+z\leqq 3$ の四面体から、$y-z>1$ の部分と $x+2z>4$ の部分を引く。2領域は重ならず、それぞれ簡単な三角形断面で体積を求められる。

まず$$T=\{(x,y,z)\mid x,y,z\geqq 0,x+y+z\leqq 3\}$$とする。これは3軸上の切片がすべて3の四面体だから$$\mathrm{vol}(T)={\displaystyle \frac{3\cdot 3\cdot 3}{6}}={\displaystyle \frac{9}{2}}\mathrm{.}$$$T$ のうち $y-z>1$ の部分を考える。
$y=z+1+t$ と置くと$$x+2z+t\leqq 2,x,z,t\geqq 0.$$これは切片が $2,1,2$ の四面体なので、その体積は$${\displaystyle \frac{2\cdot 1\cdot 2}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$次に $x+2z>4$ の部分を考える。$1\leqq z\leqq 2$ では
切り取られる断面が脚 $z-1$ の直角二等辺三角形であり、
$2\leqq z\leqq 3$ では元の断面全体が切り取られる。よって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{(z-1{)}^2}{2}}dz+{\int }_2^3{\displaystyle \frac{(3-z{)}^2}{2}}dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$なお $y-z>1$ なら$$x+2z<2$$となるため、上の2領域は重ならない。したがって求める体積は$${\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$$である。