東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

第 $n$ 回までの $A,B$ の移動回数を $X,Y$ とする。各回の三結果は確率 $1\mathrm{/}3$ であり、$X=k$ または $Y=k$ になった時点でゲームは終わる。

(1) 二人が同じベンチにいる条件は $X+Y=k$ である。$1\leqq X\leqq k-1$ なら、移動が起きた $k$ 回を選び、すべてが一方だけの勝ちとなる二通りを除くので$${}_n{\mathrm{C}}_k(2^k-2)$$通りである。$(X,Y)=(k,0),(0,k)$ では第 $n$ 回に初めて端へ着く必要があり、それぞれ ${}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}$ 通りである。したがって$$q=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k{2}^k-2{}_{n-1}{\mathrm{C}}_k}{3^n}}& (n\geqq k),\\ 0& (n<k)\mathrm{.}\end{array}$$(2) 未決着の $0\leqq x,y<k$、$x+y\leqq n$ では$$p(x,y)={\displaystyle \frac{n!}{3^{n}x!y!(n-x-y)!}}\mathrm{.}$$$$x=k,0\leqq y<k,k+y\leqq n$$ なら第 $n$ 回が $A$ の最後の勝ちなので$$p(k,y)={\displaystyle \frac{(n-1)!}{3^n(k-1)!y!(n-k-y)!}}\mathrm{.}$$同様に $$0\leqq x<k,y=k,x+k\leqq n$$ なら$$p(x,k)={\displaystyle \frac{(n-1)!}{3^{n}x!(k-1)!(n-x-k)!}}\mathrm{.}$$これら以外は $p(x,y)=0$ である。

(3) $k=3$ で未決着となる条件は $X,Y\leqq 2$ である。よって$$p=\sum _{x=0}^2\sum _{y=0}^2{\displaystyle \frac{n!}{3^{n}x!y!(n-x-y)!}}\mathrm{.}$$負の階乗を含む項を0として整理すると$$p={\displaystyle \frac{n^4-2n^3+7n^2+2n+4}{4\cdot 3^n}}(n\geqq 3)\mathrm{.}$$

状態 $(x,y)$ への到達確率を一歩前の三状態から更新する。未決着の範囲では更新式を反復した係数が $(1+U+V{)}^n$ の係数になる。吸収境界だけ最後の一歩を分離して各小問を求める。

(2) 未決着状態 $(x,y)$ の確率を $P_n(x,y)$ とすると$$P_{n+1}(x,y)={\displaystyle \frac{1}{3}}\{P_n(x,y)+P_n(x-1,y)+P_n(x,y-1)\}\mathrm{.}$$したがって未決着範囲 $x,y<k$ では、$3^n{P}_n(x,y)$ は$$(1+U+V{)}^n$$の $U^x{V}^y$ の係数である。よって$$P_n(x,y)={\displaystyle \frac{n!}{3^{n}x!y!(n-x-y)!}}\mathrm{.}$$境界 $x=k$ へ入るには、第 $n$ 回直前に $(k-1,y)$ にいて最後に $A$ が勝つ必要があるから$$p(k,y)={\displaystyle \frac{1}{3}}{P}_{n-1}(k-1,y),$$同様に $p(x,k)=P_{n-1}(x,k-1)\mathrm{/}3$ であり、解法1の(2)の式を得る。

(1) 同じベンチの内部状態は $x+y=k$、$x,y\geqq 1$ なので、母多項式の次数 $k$ の係数和から両端を除く。両端は吸収境界へ最後の一歩で入る場合を加え直す。したがって$$q={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k(2^k-2)+2{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}}{3^n}}={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k{2}^k-2{}_{n-1}{\mathrm{C}}_k}{3^n}}$$である。ただし $n<k$ では0である。

(3) $k=3$ で未決着である確率は母多項式の $U,V$ の次数がそれぞれ2以下の項の係数和だから$$3^{n}p=1+2n+2n(n-1)+n(n-1)(n-2)+{\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4}}\mathrm{.}$$これを整理して$$p={\displaystyle \frac{n^4-2n^3+7n^2+2n+4}{4\cdot 3^n}}$$を得る。