東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

正六角形の頂点は同一円周上にある。円周上の3点でできる三角形が直角三角形になるのは、3点のうち2点が対頂点、すなわち直径の両端になっているときである。したがって、印のついた頂点の集合が対頂点の組を含み、かつ印のついた頂点が3点以上あれば、直角三角形が存在する。

(1)
まず $n=3$ を数える。3回の出目で直角三角形ができるには、3つの出目がすべて異なり、その中に対頂点の組が1組含まれればよい。対頂点の組は3通り、残りの1点はその組以外の4点から選べる。さらに3個の出目の順序があるので、条件を満たす出方は $3\cdot 4\cdot 3!=72$ 通りである。全体は $6^3$ 通りだから $$p_3={\displaystyle \frac{72}{6^3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

次に $n=4$ を数える。全体は $6^4$ 通りである。直角三角形が存在しない場合を数える。印のついた頂点が1点だけの場合は $6$ 通り、2点だけの場合は、2点の選び方が ${}_6{\mathrm{C}}_2$ 通りで、それぞれ4回の出目が両方を少なくとも1回ずつ含むので ${}_6{\mathrm{C}}_2(2^4-2)$ 通りである。印が3点以上で直角三角形が存在しないためには、3組の対頂点から高々1点ずつ選ばれていなければならない。3点ちょうどの場合、各対頂点の組から1点ずつ選ぶので集合は $2^3$ 通りあり、4回の出目がその3点すべてを含む出方は $3^4-3\cdot 2^4+3=36$ 通りである。したがって余事象の数は $$6+{}_6{\mathrm{C}}_2(2^4-2)+2^3\cdot 36=6+15\cdot 14+288=504$$ である。よって条件を満たす出方は $6^4-504=1296-504=792$ 通りであり、$$p_4={\displaystyle \frac{792}{6^4}}={\displaystyle \frac{11}{18}}$$ である。

(2) $1-p_n$ は、直角三角形が存在しない確率である。直角三角形が存在しないためには、印のついた頂点集合が対頂点の組を含まないか、印のついた頂点が2点以下でなければならない。

出目がすべて、対頂点を同時に含まない3点集合の中に入る場合を考える。3組の対頂点から1点ずつ選ぶと、そのような3点集合は $2^3=8$ 通りあり、それぞれについて出目がその3点内にすべて入る確率は ${\left({\displaystyle \frac{3}{6}}\right)}^n$ である。したがって $1-p_n$ は定数倍を除いて $({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^n$ の大きさで下からも上からも評価できる。

実際、ある固定した、対頂点を含まない3点集合にすべての出目が入る場合は余事象に含まれるので ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\leqq 1-p_n$ である。一方、余事象では、印が3点以上なら出目全体は対頂点を含まない8通りの3点集合のいずれかに入り、印が2点以下なら15通りの2点集合のいずれかに入る。和事象の確率で上から評価して$$1-p_n\leqq 8{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n+15{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\leqq 23{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$$である。よって$$\log {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\log (1-p_n)\leqq {\displaystyle \frac{\log 23}{n}}+\log {\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。$n\to \mathrm{\infty }$ とすると両端が $\log {\displaystyle \frac{1}{2}}$ に近づくから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (1-p_n)=-\log 2$$ である。

直角三角形がないとき、印の種類数は1、2、または各対頂点組から1点ずつ選んだ3である。使われた頂点集合の大きさごとに、全ての頂点が少なくとも一度出る列を包除原理で数え、$1-p_n$ の閉じた式を得る。

直角三角形が存在しない出目列を、実際に印が付いた頂点数で分類する。

1点だけなら出目列は6通りである。2点ちょうどなら頂点集合は ${}_6{\mathrm{C}}_2$ 通りで、両方が少なくとも一度出る列は $2^n-2$ 通りだから$$15(2^n-2)$$通りである。

3点以上で対頂点の組を含まないためには、3組の対頂点から1点ずつ選んだ3点を全て使う必要がある。その集合は $2^3=8$ 通りである。固定した3点が全て少なくとも一度出る列は、包除原理により$$3^n-3\cdot 2^n+3$$通りである。4点以上を選べば必ず対頂点の組を含む。

したがって余事象の出目列数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N_n}& {\displaystyle =6+15(2^n-2)+8(3^n-3\cdot 2^n+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\cdot 3^n-9\cdot 2^n\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$1-p_n=8{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n-9{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$(1)
これに $n=3,4$ を代入すると$$p_3={\displaystyle \frac{1}{3}},p_4={\displaystyle \frac{11}{18}}\mathrm{.}$$(2)
また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{n}}\log (1-p_n)}& {\displaystyle =-\log 2+{\displaystyle \frac{1}{n}}\log \{8-9{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\}\mathrm{.}}\end{array}$$右辺第2項は0へ近づくので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (1-p_n)=-\log 2.$$