東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) ある $a$ に対して$${\displaystyle \frac{9}{10}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{11}{10}},{\displaystyle \frac{27}{10}}\leqq au\leqq {\displaystyle \frac{33}{10}},{\displaystyle \frac{9}{2}}\leqq av\leqq {\displaystyle \frac{27}{5}}$$が同時に成り立つことが必要十分である。対応する三つの $a$ の区間が共通部分をもつ条件を整理すると$${\displaystyle \frac{27}{11}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{11}{3}},{\displaystyle \frac{45}{11}}\leqq v\leqq 6,{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{u}{v}}\leqq {\displaystyle \frac{11}{15}}\mathrm{.}$$これは $uv$ 平面で直線 $v=2u$、$v=15u\mathrm{/}11$ と四本の縦横線に囲まれる六角形である。頂点は$$({\displaystyle \frac{27}{11}},{\displaystyle \frac{45}{11}}),(3,{\displaystyle \frac{45}{11}}),({\displaystyle \frac{11}{3}},5),({\displaystyle \frac{11}{3}},6),(3,6),({\displaystyle \frac{27}{11}},{\displaystyle \frac{54}{11}})\mathrm{.}$$(2) 判別式に相当する量は$$b^2-ac\geqq {\left({\displaystyle \frac{27}{10}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{11}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{27}{5}}={\displaystyle \frac{27}{20}}>0.$$大きい根は$$z={\displaystyle \frac{b+\sqrt{b^2-ac}}{a}}\mathrm{.}$$これは $b$ とともに増え、$c$ とともに減る。また方程式を $a$ で微分すると$${\displaystyle \frac{dz}{da}}=-{\displaystyle \frac{z^2}{2az-2b}}<0$$である。よって最大は $$(a,b,c)=(9\mathrm{/}10,33\mathrm{/}10,9\mathrm{/}2)$$、最小は $(11\mathrm{/}10,27\mathrm{/}10,27\mathrm{/}5)$ で生じる。計算して$$z_{\max }={\displaystyle \frac{11+2\sqrt{19}}{3}},z_{\min }={\displaystyle \frac{27+3\sqrt{15}}{11}}\mathrm{.}$$

(1) で得た六角形上で $z=u+\sqrt{u^2-v}$ を考える。内部に極値はなく、縦辺・横辺・二本の斜辺のそれぞれで単調性を調べれば頂点だけを比較すればよい。

(1) 三つの $a$ の区間の共通部分を調べると$${\displaystyle \frac{27}{11}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{11}{3}},{\displaystyle \frac{45}{11}}\leqq v\leqq 6,{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{u}{v}}\leqq {\displaystyle \frac{11}{15}}$$であり、頂点は解法1に記した六点である。

(2) 方程式を $a$ で割ると$$x^2-2ux+v=0$$だから$$z=u+\sqrt{u^2-v}\mathrm{.}$$領域内では $z$ は $u$ が増すと増え、$v$ が増すと減る。縦辺と横辺では直ちに端点だけを見ればよい。斜辺は $v=ku$ の形であり$$z=u+\sqrt{u(u-k)}$$は各斜辺の範囲で $u$ とともに増える。したがって六頂点だけを比較すれば十分である。

最大候補は $(u,v)=(11\mathrm{/}3,5)$、最小候補は $(27\mathrm{/}11,54\mathrm{/}11)$ となる。代入して$$z_{\max }={\displaystyle \frac{11}{3}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{121}{9}}-5}={\displaystyle \frac{11+2\sqrt{19}}{3}},$$$$z_{\min }={\displaystyle \frac{27}{11}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{729-594}{121}}}={\displaystyle \frac{27+3\sqrt{15}}{11}}\mathrm{.}$$対応する係数はそれぞれ$$(a,b,c)=({\displaystyle \frac{9}{10}},{\displaystyle \frac{33}{10}},{\displaystyle \frac{9}{2}}),({\displaystyle \frac{11}{10}},{\displaystyle \frac{27}{10}},{\displaystyle \frac{27}{5}})$$であり、実際に許された範囲に入る。