東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$$f(1,0)=(p,q),f(0,1)=(r,s)$$と置く。一次変換の性質から$$f(x,y)=(px+ry,qx+sy)$$である。3条件は$$p>0,q<0,r<0,s>0,p+r>0,q+s>0$$と同値である。

ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =ps-qr}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p(q+s)-q(p+r)\mathrm{.}}\end{array}$$右辺の2項はともに正なので$$E>0.$$$f(x,y)=(X,Y)$ とすると$$px+ry=X,qx+sy=Y\mathrm{.}$$第1式を $s$ 倍したものから第2式を $r$ 倍したものを引き、
第2式を $p$ 倍したものから第1式を $q$ 倍したものを引くと$$Ex=sX-rY,Ey=-qX+pY\mathrm{.}$$$E>0$ だから、任意の $(X,Y)$ に対して$$x={\displaystyle \frac{sX-rY}{E}},y={\displaystyle \frac{-qX+pY}{E}}$$がただ1組定まる。したがって $f$ には逆変換が存在する。

さらに $X>0,Y>0$ なら、$s,-r,-q,p$ はすべて正なので$$sX-rY>0,-qX+pY>0.$$よって $x>0,y>0$ であり、点 $P=(x,y)$ も第1象限の内部にある。

負の成分を正の文字へ置き換えると、3条件は2組の大小関係になる。像が第1象限なのに元の座標が正でないと仮定し、2つの比に互いに矛盾する大小関係を導く。

正の数 $a,b$ を用いて$$q=-a,r=-b$$と書く。条件 (iii) から$$p>b>0,s>a>0$$である。したがって$$f(x,y)=(px-by,-ax+sy)\mathrm{.}$$まず $f(x,y)=(0,0)$ とする。もし $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ なら、$$px=by,ax=sy$$から$$ps=ab$$を得る。しかし $p>b$ かつ $s>a$ なので $ps>ab$ であり、矛盾する。
よって原点へ移る点は原点だけである。一次変換ではこのことから連立式を一意に逆向きに解けるので、逆変換が存在する。

次に$$px-by>0,-ax+sy>0$$とする。$x\leqq 0$ と仮定すると、第1式から $y<0$ も従う。
$u=-x>0,v=-y>0$ と置けば$$bv>pu,au>sv\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{v}{u}}>{\displaystyle \frac{p}{b}},{\displaystyle \frac{v}{u}}<{\displaystyle \frac{a}{s}}\mathrm{.}$$ところが $p\mathrm{/}b>1>a\mathrm{/}s$ なので不可能である。ゆえに $x>0$。
同様に $y\leqq 0$ と仮定しても $x<0$ が導かれて同じ矛盾を生じるから、$y>0$ である。