東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

一辺の長さが $1$ の正四面体を考える。各面は一辺 $1$ の正三角形なので、1つの面の面積は $$A={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$ である。

正四面体を対称に置くと、4つの面に垂直な単位方向は$${\displaystyle \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{(1,-1,-1)}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{(-1,1,-1)}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{(-1,-1,1)}{\sqrt{3}}}$$としてよい。射影する方向を単位ベクトル $$u=(l,m,n),l^2+m^2+n^2=1$$ とする。

1つの面の正射影の面積は、もとの面積に、面に垂直な方向と $u$ のなす角の余弦の絶対値を掛けたものになる。また、凸な多面体では、全ての面の射影面積を足すと、正射影された図形を表側と裏側から1回ずつ数えるため、求める面積の2倍になる。したがって正射影の面積 $S$ は $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}A\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\{\mathrm{\mid }l+m+n\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }l-m-n\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }-l+m-n\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }-l-m+n\mathrm{\mid }\}$$ である。すなわち $S={\displaystyle \frac{1}{8}}L$ ただし $$L=\mathrm{\mid }l+m+n\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }l-m-n\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }-l+m-n\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }-l-m+n\mathrm{\mid }$$ である。

ここで $$A_1=l+m+n,A_2=l-m-n,A_3=-l+m-n,A_4=-l-m+n$$ とおくと $A_1+A_2+A_3+A_4=0$ であり、また $$A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2=4(l^2+m^2+n^2)=4$$ である。

まず上限を求める。コーシーの不等式より $$L^2\leqq 4(A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2)=16$$ なので $L\leqq 4$ である。したがって $S\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。等号は、たとえば $u=(1,0,0)$ のとき $$(A_1,A_2,A_3,A_4)=(1,1,-1,-1)$$ となって成立する。よって最大値は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

次に下限を求める。$A_1,A_2,A_3,A_4$ の正のものの和を $P$ とすると、全体の和が0であるから、負のものの絶対値の和も $P$ であり、$L=2P$ である。正の数たちの平方和は高々 $P^2$、負の数たちの平方和も高々 $P^2$ なので $$4=A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2\leqq 2P^2$$ である。したがって $$P\geqq \sqrt{2},L=2P\geqq 2\sqrt{2}$$ となる。よって $$S\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$$ である。

等号は、たとえば $$u=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},0)$$ のとき $$(A_1,A_2,A_3,A_4)=(\sqrt{2},0,0,-\sqrt{2})$$ となって成立する。よって最小値は ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$ である。

以上より、求める最大値と最小値は $\text{最大値 }{\displaystyle \frac{1}{2}},\text{最小値 }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$ である。

4面の法線方向との内積を $h_1,\dots ,h_4$ と置く。射影面積は正側を向く面の寄与の和であり、正の項が1個か2個かに分けると上限を幾何的に評価できる。下限は正負各群の平方和から得る。

4面の単位法線を$${\displaystyle \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{(1,-1,-1)}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{(-1,1,-1)}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{(-1,-1,1)}{\sqrt{3}}}$$とし、射影方向を $(l,m,n)$ とする。前解法と同様に$$S={\displaystyle \frac{1}{8}}L,$$ただし$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L=}& {\displaystyle \mathrm{\mid }{h}_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{h}_2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{h}_3\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{h}_4\mathrm{\mid },}\\ {\displaystyle (h_1,h_2,h_3,h_4)=}& {\displaystyle (l+m+n,l-m-n,-l+m-n,-l-m+n)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\sum _{i=1}^4{h}_i=0,\sum _{i=1}^4{h}_i^2=4.$$正の $h_i$ の和を $P$ とすると $L=2P$ である。
正の項が1個なら$$P=\mathrm{\mid }\pm l\pm m\pm n\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{3}<2.$$正の項が2個なら、その和は$$2\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid },2\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },2\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }$$のいずれかなので $P\leqq 2$。正の項が3個の場合は負の1項の絶対値に等しく、最初の場合と同じである。
よって$$L\leqq 4,S\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$一方、正の項の平方和も負の項の平方和も、それぞれ同じ符号の項の和の平方 $P^2$ 以下だから$$4=\sum _{i=1}^4{h}_i^2\leqq 2P^2\mathrm{.}$$したがって$$L=2P\geqq 2\sqrt{2},S\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\mathrm{.}$$$(l,m,n)=(1,0,0)$ で上の等号、$$(l,m,n)=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},0)$$で下の等号が成立する。ゆえに$$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{2}},S_{\min }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\mathrm{.}$$