東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
点 $(a,f(a))$ と原点を結ぶ直線は $$y=\frac{f(a)}{a}x$$ であり、点 $(2a,f(2a))$ と原点を結ぶ直線は $$y=\frac{f(2a)}{2a}x$$ である。 $f$ は正で単調減少だから、$0\leqq x\leqq a$ では曲線 $y=f(x)$ は2直線より上にあり、囲まれる部分の境界は2本の直線である。また $a\leqq x\leqq 2a$ では、曲線 $y=f(x)$ が直線 $y=f(2a)x\mathrm{/}(2a)$ より上にある。よって面積 $A(a)$ は$$A(a)={\int }_0^a(\frac{f(a)}{a}x-\frac{f(2a)}{2a}x)dx+{\int }_a^{2a}(f(x)-\frac{f(2a)}{2a}x)dx$$である。

第1項は $\frac{af(a)}{2}-\frac{af(2a)}{4}$ であり、第2項は $$S(a)-\frac{f(2a)}{2a}\cdot \frac{(2a{)}^2-a^2}{2}=S(a)-\frac{3af(2a)}{4}$$ である。したがって $$A(a)=S(a)+\frac{af(a)}{2}-af(2a)$$ である。問題の条件より $A(a)=3S(a)$ だから $$S(a)+\frac{af(a)}{2}-af(2a)=3S(a)$$ であり $$f(a)-2f(2a)=\frac{4S(a)}{a}$$ を得る。

一方、$S(x)={\int }_x^{2x}f(t)dt$ であるから $S^{\mathrm{\prime }}(x)=2f(2x)-f(x)$ である。先ほどの式より $$2f(2x)-f(x)=-\frac{4S(x)}{x}$$ なので $$S^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{4S(x)}{x}$$ である。よって $$\frac{S^{\mathrm{\prime }}(x)}{S(x)}=-\frac{4}{x}$$ となり、$S(x)=C{x}^{-4}$ である。$S(1)=1$ より $C=1$ だから $${\displaystyle S(x)=\frac{1}{x^4}}$$ である。また $$f(x)-2f(2x)=\frac{4S(x)}{x}$$ より $${\displaystyle f(x)-2f(2x)=\frac{4}{x^5}}$$ である。

(2) $h_n(t)=2^{n}f(2^{n}t)$ とおく。$f$ は単調減少なので、$h_n(t)$ も $t$ の単調減少関数である。すると$${\int }_x^{2x}{h}_n(t)dt={\int }_x^{2x}{2}^{n}f(2^{n}t)dt={\int }_{2^{n}x}^{2^{n+1}x}f(u)du=S(2^{n}x)$$である。(1)より $$S(2^{n}x)=\frac{1}{(2^{n}x{)}^4}=\frac{1}{2^{4n}{x}^4}$$ である。

また、$h_n$ は単調減少で正だから $$0\leqq x{h}_n(2x)\leqq {\int }_x^{2x}{h}_n(t)dt=\frac{1}{2^{4n}{x}^4}$$ である。したがって $h_n(2x)\to 0$ である。$x>0$ は任意なので、任意の正の数 $y$ について $2^{n}f(2^{n}y)\to 0$ となる。すなわち $a(y)=0$ である。

よって、求める積分は $${\displaystyle {\int }_x^{2x}a(t)dt=0}$$ である。

(3) $g(x)=xf(x)$ とおく。(1)の $f(x)-2f(2x)=\frac{4}{x^5}$ に $x$ を掛けると $$xf(x)-2xf(2x)=\frac{4}{x^4}$$ である。左辺は $g(x)-g(2x)$ だから $g(x)-g(2x)=4x^{-4}$ である。

これを繰り返すと、任意の正整数 $N$ について $$g(x)=g(2^{N}x)+4x^{-4}(1+2^{-4}+2^{-8}+\cdots +2^{-4(N-1)})$$ である。
(2)
より $$g(2^{N}x)=2^{N}xf(2^{N}x)=x\{2^{N}f(2^{N}x)\}\to xa(x)=0$$ である。したがって $N\to \mathrm{\infty }$ とすると$$g(x)=4x^{-4}\cdot \frac{1}{1-2^{-4}}=4x^{-4}\cdot \frac{16}{15}=\frac{64}{15}{x}^{-4}$$である。よって $$xf(x)=\frac{64}{15}{x}^{-4}$$ となり $${\displaystyle f(x)=\frac{64}{15x^5}}$$ を得る。

実際、この関数は正で単調減少であり、$${\int }_x^{2x}\frac{64}{15t^5}dt=\frac{1}{x^4}$$ を満たすので、(1)で得た条件とも一致する。