東大 1994年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

折れ線距離は $d ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ y_{1} - y_{2} ∣$ である。各小問で， $x$ 方向の距離差と $y$ 方向の距離差を別々に表にし，その和が $0$ になる条件を読む。
(1)では境界 $x = 0, 1$ と $y = 0, 3$ ，(2)では境界 $x = - 1, 1$ と $y = 1, 3$ で式が変わる。最終的には，水平半直線と斜め線分，さらに水平半直線からなる折れ線または領域として図示する。

解答

(1) $P = (x, y)$ とする。折れ線距離の定義から $d (O, P) = ∣ x ∣ + ∣ y ∣, d (P, A) = ∣ x - 1 ∣ + ∣ y - 3 ∣$ である。したがって条件は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ∣ x - 1 ∣ + ∣ y - 3 ∣$ である。 $ϕ (x) = ∣ x ∣ - ∣ x - 1 ∣$ とおくと $ϕ (x) = {\begin{cases} - 1 & (x ≦ 0), \\ 2 x - 1 & (0 ≦ x ≦ 1), \\ 1 & (x ≧ 1) \end{cases}$ である。また $ψ (y) = ∣ y ∣ - ∣ y - 3 ∣$ とおくと $ψ (y) = {\begin{cases} - 3 & (y ≦ 0), \\ 2 y - 3 & (0 ≦ y ≦ 3), \\ 3 & (y ≧ 3) \end{cases}$ である。求める条件は $ϕ (x) + ψ (y) = 0$ である。 $x ≦ 0$ では $ϕ (x) = - 1$ なので $ψ (y) = 1$ ，すなわち $y = 2$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $ψ (y) = 1 - 2 x$ であり， $0 ≦ y ≦ 3$ の式から $2 y - 3 = 1 - 2 x$ ，すなわち $y = 2 - x$ である。 $x ≧ 1$ では $ϕ (x) = 1$ なので $ψ (y) = - 1$ ，すなわち $y = 1$ である。

よって求める点の範囲は ${\begin{cases} y = 2 & (x ≦ 0), \\ y = 2 - x & (0 ≦ x ≦ 1), \\ y = 1 & (x ≧ 1) \end{cases}$ で表される折れ線である。

(2)

条件は $∣ x - 1 ∣ + ∣ y - 3 ∣ = ∣ x + 1 ∣ + ∣ y - 1 ∣$ である。そこで $Φ (x) = ∣ x - 1 ∣ - ∣ x + 1 ∣, Ψ (y) = ∣ y - 3 ∣ - ∣ y - 1 ∣$ とおくと，求める条件は $Φ (x) + Ψ (y) = 0$ である。 $Φ (x) = {\begin{cases} 2 & (x ≦ - 1), \\ - 2 x & (- 1 ≦ x ≦ 1), \\ - 2 & (x ≧ 1) \end{cases}$ であり， $Ψ (y) = {\begin{cases} 2 & (y ≦ 1), \\ 4 - 2 y & (1 ≦ y ≦ 3), \\ - 2 & (y ≧ 3) \end{cases}$ である。 $x ≦ - 1$ では $Φ (x) = 2$ なので $Ψ (y) = - 2$ ，よって $y ≧ 3$ である。 $- 1 ≦ x ≦ 1$ では $Ψ (y) = 2 x$ となる。これは $1 ≦ y ≦ 3$ の範囲で $4 - 2 y = 2 x$ となるから， $y = 2 - x$ である。 $x ≧ 1$ では $Φ (x) = - 2$ なので $Ψ (y) = 2$ ，よって $y ≦ 1$ である。

したがって求める範囲は ${(x, y) ∣ x ≦ - 1, y ≧ 3}$ と ${(x, y) ∣ - 1 ≦ x ≦ 1, y = 2 - x}$ と ${(x, y) ∣ x ≧ 1, y ≦ 1}$ の和集合である。図では左上の領域，中央の線分，右下の領域を続けて描けばよい。

別解

解法2

方針

絶対値が変化する縦横の境界線で平面を区切り、各長方形領域の中では距離差が一次式になることを利用する。境界を含めて解集合を接続する。

解答

$d ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ y_{1} - y_{2} ∣$ である。

(1) $Δ (x, y) = d (O, P) - d (P, A) = {∣ x ∣ - ∣ x - 1 ∣} + {∣ y ∣ - ∣ y - 3 ∣}$ とおく。平面を $x = 0, 1$ 、 $y = 0, 3$ で区切る。中央の長方形 $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 3$ では $Δ = (2 x - 1) + (2 y - 3) = 2 (x + y - 2),$ したがって解は $y = 2 - x$ である。左側では $x$ の寄与が $- 1$ に
固定されるので $y = 2$ 、右側では $1$ に固定されるので $y = 1$ となる。
よって $y = {\begin{cases} 2 & (x ≦ 0), \\ 2 - x & (0 ≦ x ≦ 1), \\ 1 & (x ≧ 1) . \end{cases}$ (2) $Δ (x, y) = d (A, P) - d (P, B) = {∣ x - 1 ∣ - ∣ x + 1 ∣} + {∣ y - 3 ∣ - ∣ y - 1 ∣}$ とおく。中央の長方形 $- 1 ≦ x ≦ 1, 1 ≦ y ≦ 3$ では $Δ = - 2 x + 4 - 2 y,$ ゆえに $y = 2 - x$ である。左上 $x ≦ - 1, y ≧ 3$ では2つの寄与が
$2$ と $- 2$ に固定され、領域全体で $Δ = 0$ となる。同様に右下
$x ≧ 1, y ≦ 1$ も領域全体が解である。他の区画では符号が一致しない。
したがって ${x ≦ - 1, y ≧ 3} \cup {- 1 ≦ x ≦ 1, y = 2 - x} \cup {x ≧ 1, y ≦ 1}$ が求める範囲である。

総評

難度は5、計算量は5。折れ線距離の等距離集合には線だけでなく2次元領域も現れる点を、全区画の符号で確認した。 2解法の結論を照合し、定義域、端点、必要十分性、等号条件を再確認した。図は論証を補助するものに限定し、図の縮尺に依存しない式による説明も併記している。

東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東京大学 1994年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問