東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

球の中心を $C$ とする。器を角 $\theta$ だけ傾けると、口の円の最下点は
$C$ より $\sin \theta$ だけ下にある。したがって、あふれる瞬間の水は球の下端から$$h=1-\sin \theta$$の高さまでを占める球冠である。

$s=\sin \theta$ とおくと $0<s<1$ であり、半径1、高さ $1-s$ の球冠の体積は$$V=\pi (1-s{)}^2(1-{\displaystyle \frac{1-s}{3}})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(1-s{)}^2(2+s)\mathrm{.}$$一方、あふれるまでに入った水量は$${\displaystyle \frac{\pi }{18}}(3+{\cos }^2\theta )={\displaystyle \frac{\pi }{18}}(4-s^2)\mathrm{.}$$両者を等置して整理すると$$6(1-s{)}^2(2+s)=4-s^2,$$$$(2s-1)(3s^2+2s-8)=0.$$候補は $s=1\mathrm{/}2,4\mathrm{/}3,-2$ であるが、$0<s<1$ より$$s={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$傾いた器と水平な水面

球冠公式を使わず、球の水平断面積を積分して水量を求める。
器の傾きは水面の高さ $-\sin \theta$ にだけ反映される。

$s=\sin \theta$ とおき、球の中心を原点、鉛直上向きを $z$ 軸とする。
あふれる瞬間の水面は、傾いた口の最下点を通るので $z=-s$ である。
高さ $z$ における球の断面積は$$\pi (1-z^2)$$だから、水の体積は$$V={\int }_{-1}^{-s}\pi (1-z^2)dz=\pi {[z-{\displaystyle \frac{z^3}{3}}]}_{-1}^{-s}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(2-3s+s^3)\mathrm{.}$$注水量との等式は$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}(2-3s+s^3)={\displaystyle \frac{\pi }{18}}(4-s^2)\mathrm{.}$$したがって$$6s^3+s^2-18s+8=0,$$$$(2s-1)(3s^2+2s-8)=0.$$$0<s<1$ に入る解は $s=1\mathrm{/}2$ だけである。ゆえに$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$である。