東大 1994年度理系数学第6問｜問題・解答・解説

方針

折れ線距離は絶対値の和で表される。(1)は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ∣ x - 1 ∣ + ∣ y - 1 ∣$ を， $x = 0, 1$ と $y = 0, 1$ で式が変わることに注意して整理する。
(2)では，まず $a ≧ 0$ を固定し， $Q = (a, a^{2} + 1)$ に対する等距離集合を求める。 $a^{2} + 1 > a$ なので，固定した $a$ での軌跡は左水平半直線，中央の斜め線分，右水平半直線の3部分になる。最後に $a$ を動かして合併し， $x ≦ 0$ ， $0 ≦ x ≦ 1 / 2$ ， $x ≧ 1 / 2$ に分けて下端を求める。

解答

(1) $P = (x, y)$ とする。条件は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ∣ x - 1 ∣ + ∣ y - 1 ∣$ である。 $ϕ (x) = ∣ x ∣ - ∣ x - 1 ∣$ ， $ψ (y) = ∣ y ∣ - ∣ y - 1 ∣$ とおくと，条件は $ϕ (x) + ψ (y) = 0$ である。ここで $ϕ (x) = {\begin{cases} - 1 & (x ≦ 0), \\ 2 x - 1 & (0 ≦ x ≦ 1), \\ 1 & (x ≧ 1), \end{cases} ψ (y) = {\begin{cases} - 1 & (y ≦ 0), \\ 2 y - 1 & (0 ≦ y ≦ 1), \\ 1 & (y ≧ 1) \end{cases}$ である。 $x ≦ 0$ では $ϕ (x) = - 1$ なので $ψ (y) = 1$ ，すなわち $y ≧ 1$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $ψ (y) = 1 - 2 x$ であり， $0 ≦ y ≦ 1$ の式から $y = 1 - x$ である。 $x ≧ 1$ では $ϕ (x) = 1$ なので $ψ (y) = - 1$ ，すなわち $y ≦ 0$ である。

よって求める範囲は ${(x, y) ∣ x ≦ 0, y ≧ 1}$ と ${(x, y) ∣ 0 ≦ x ≦ 1, y = 1 - x}$ と ${(x, y) ∣ x ≧ 1, y ≦ 0}$ の和集合である。

(2) $a ≧ 0$ を固定する。点 $Q = (a, a^{2} + 1)$ に対する条件は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ∣ x - a ∣ + ∣ y - (a^{2} + 1) ∣$ である。ここで $b = a^{2} + 1$ とおくと， $b - a = a^{2} - a + 1 > 0$ である。 $ϕ_{a} (x) = ∣ x ∣ - ∣ x - a ∣$ ， $ψ_{b} (y) = ∣ y ∣ - ∣ y - b ∣$ とおく。条件は $ϕ_{a} (x) + ψ_{b} (y) = 0$ である。 $x ≦ 0$ では $ϕ_{a} (x) = - a$ なので $ψ_{b} (y) = a$ である。 $0 ≦ a < b$ だから，これは $0 ≦ y ≦ b$ の範囲で $2 y - b = a$ となり， $y = \frac{a + b}{2} = \frac{a^{2} + a + 1}{2}$ である。 $0 ≦ x ≦ a$ では $ϕ_{a} (x) = 2 x - a$ なので $ψ_{b} (y) = a - 2 x$ である。したがって $2 y - b = a - 2 x$ より $y = \frac{a + b}{2} - x = \frac{a^{2} + a + 1}{2} - x$ である。 $x ≧ a$ では $ϕ_{a} (x) = a$ なので $ψ_{b} (y) = - a$ である。よって $2 y - b = - a$ から $y = \frac{b - a}{2} = \frac{a^{2} - a + 1}{2}$ である。

以上より，固定した $a$ での等距離集合は $y = \frac{a^{2} + a + 1}{2} (x ≦ 0),$ $y = \frac{a^{2} + a + 1}{2} - x (0 ≦ x ≦ a),$ $y = \frac{a^{2} - a + 1}{2} (x ≧ a)$ の3部分からなる。

これを $a ≧ 0$ について合併する。

まず $x ≦ 0$ では $y = \frac{a^{2} + a + 1}{2}$ であり，右辺は $a ≧ 0$ で最小値 $1 / 2$ をとり，その後いくらでも大きくなる。したがって $y ≧ \frac{1}{2} (x ≦ 0)$ である。

次に $x ≧ 0$ を考える。中央の斜め部分を通るには $a ≧ x$ が必要であり，そのとき $y = \frac{a^{2} + a + 1}{2} - x$ である。この右辺は $a ≧ 0$ で増加するので， $a = x$ のとき最小となり $y ≧ \frac{x^{2} - x + 1}{2}$ を与える。

一方，右水平部分を通るには $0 ≦ a ≦ x$ が必要であり，そのとき $y = \frac{a^{2} - a + 1}{2} = {(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{8}$ である。 $0 ≦ x ≦ 1 / 2$ では， $0 ≦ a ≦ x$ の範囲でこの値は $a = x$ のとき最小となるので，下端は $\frac{x^{2} - x + 1}{2}$ である。 $x ≧ 1 / 2$ では， $a = 1 / 2$ を選べるので最小値は $\frac{3}{8}$ である。さらに右水平部分で得られる値と中央部分で得られる値がつながるため，この下端以上のすべての点が得られる。

したがって求める範囲は ${\begin{cases} y ≧ \frac{1}{2} & (x ≦ 0), \\ y ≧ \frac{x^{2} - x + 1}{2} & (0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}), \\ y ≧ \frac{3}{8} & (x ≧ \frac{1}{2}) \end{cases}$ である。図では，左側は水平線 $y = 1 / 2$ 以上，中央は放物線 $y = (x^{2} - x + 1) / 2$ 以上，右側は水平線 $y = 3 / 8$ 以上を塗る。

別解

解法2

方針

固定した $a$ の等距離線を3部分に分けた後、逆に各 $x$ で取り得る $y$ の最小値を最適化する。最後に境界以上の全点が実現することを構成的に確認する。

解答

(1) $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ∣ x - 1 ∣ + ∣ y - 1 ∣$ を $x = 0, 1$ 、 $y = 0, 1$ で場合分けすると ${x ≦ 0, y ≧ 1} \cup {0 ≦ x ≦ 1, y = 1 - x} \cup {x ≧ 1, y ≦ 0}$ を得る。

(2)
$b = a^{2} + 1$ とする。 $b > a$ であり、固定した $a$ の等距離集合は $\begin{array}{ll} y = (a^{2} + a + 1) / 2, & x ≦ 0, \\ y = (a^{2} + a + 1) / 2 - x, & 0 ≦ x ≦ a, \\ y = (a^{2} - a + 1) / 2, & x ≧ a . \end{array}$ ここから $a$ を動かす。

$x ≦ 0$ では $(a^{2} + a + 1) / 2$ が $a ≧ 0$ で
$1 / 2$ 以上の全値を取る。 $x ≧ 0$ では、斜め部分の条件 $a ≧ x$
から得る下端は $\frac{x^{2} - x + 1}{2} .$ 右水平部分では $0 ≦ a ≦ x$ のもとで $\frac{a^{2} - a + 1}{2} = \frac{1}{2} {(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{8}$ を最小化する。よって $0 ≦ x ≦ 1 / 2$ では $a = x$ 、
$x ≧ 1 / 2$ では $a = 1 / 2$ が最小である。各式は $a$ の連続関数で
上方へ無限に伸び、2つの部分の値域も端点で接続するから、下端以上の全値を取る。
したがって求める範囲は ${\begin{cases} y ≧ \frac{1}{2} & (x ≦ 0), \\ y ≧ \frac{x^{2} - x + 1}{2} & (0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}), \\ y ≧ \frac{3}{8} & (x ≧ \frac{1}{2}) . \end{cases}$

総評

難度は8、計算量は7。固定パラメータの等距離線の合併が境界線だけでなく上方領域全体になることを確認した。 2解法の結論を照合し、定義域、端点、必要十分性、等号条件を再確認した。図は論証を補助するものに限定し、図の縮尺に依存しない式による説明も併記している。

出典: 東京大学 1994年度前期日程第2次学力試験数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東京大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系数学第6問