東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$y=x^2$ とおくと，方程式は $y^2-2y-1+t=0$ である。これを解くと $$y=1\pm \sqrt{2-t}$$ である。$0\leqq t\leqq 2$ では $$0\leqq \sqrt{2-t}\leqq \sqrt{2}$$ なので，$1-\sqrt{2-t}$ は負になることもあるが，実数解の最大・最小を与えるのは常に $$y=1+\sqrt{2-t}$$ である。したがって $$g_1(t)=\sqrt{1+\sqrt{2-t}},g_2(t)=-\sqrt{1+\sqrt{2-t}}$$ であり，$$g_1(t)-g_2(t)=2\sqrt{1+\sqrt{2-t}}$$ となる。

よって求める積分は$${\int }_0^2\{g_1(t)-g_2(t)\}dt={\int }_0^{2}2\sqrt{1+\sqrt{2-t}}dt$$である。$$u=\sqrt{2-t}$$ とおくと $$t=2-u^2,dt=-2udu$$ であり，$t=0$ のとき $u=\sqrt{2}$，$t=2$ のとき $u=0$ である。したがって$${\int }_0^{2}2\sqrt{1+\sqrt{2-t}}dt=4{\int }_0^{\sqrt{2}}u\sqrt{1+u}du$$となる。

さらに $w=1+u$ とおくと$$4{\int }_0^{\sqrt{2}}u\sqrt{1+u}du=4{\int }_1^{1+\sqrt{2}}(w-1)w^{1\mathrm{/}2}dw$$である。よって$$4{\int }_1^{1+\sqrt{2}}(w-1)w^{1\mathrm{/}2}dw=4{[{\displaystyle \frac{2}{5}}{w}^{5\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{w}^{3\mathrm{/}2}]}_1^{1+\sqrt{2}}$$であり，求める値は ${\displaystyle \frac{8}{15}}\{3(1+\sqrt{2}{)}^{5\mathrm{/}2}-5(1+\sqrt{2}{)}^{3\mathrm{/}2}+2\}$ である。

最大の正の実数解そのものを新しい変数にする。方程式から
$t$ をその変数で表せば、根号を二重に含む被積分関数が多項式へ
変わり、置換を一度で完了できる。

方程式は $x^2$ について解くと$$x^2=1\pm \sqrt{2-t}\mathrm{.}$$$0\leqq t\leqq 2$ では、最大の実数解と最小の実数解は$$g_1(t)=\sqrt{1+\sqrt{2-t}},g_2(t)=-g_1(t)$$である。そこで$$s=g_1(t)=\sqrt{1+\sqrt{2-t}}$$と置く。すると$$t=2-(s^2-1{)}^2,dt=-4s(s^2-1)ds\mathrm{.}$$端点は$$t=0⟺s=\sqrt{1+\sqrt{2}},t=2⟺s=1$$と対応する。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^2\{g_1(t)-g_2(t)\}dt}& {\displaystyle ={\int }_{\sqrt{1+\sqrt{2}}}^{1}2s\{-4s(s^2-1)\}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8{\int }_1^{\sqrt{1+\sqrt{2}}}(s^4-s^2)ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8{[{\displaystyle \frac{s^5}{5}}-{\displaystyle \frac{s^3}{3}}]}_1^{\sqrt{1+\sqrt{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める値は$${\displaystyle \frac{8}{15}}\{3(1+\sqrt{2}{)}^{5\mathrm{/}2}-5(1+\sqrt{2}{)}^{3\mathrm{/}2}+2\}\mathrm{.}$$