東京大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $B$ を原点、$L$ を $x$ 軸とする。適当な正数 $p,q$ と実数 $u,v$ により$$\overrightarrow{BA}=(u,p,0),\overrightarrow{BC}=(v,q\cos \theta ,q\sin \theta )$$と置ける。従って$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{uv+pq\cos \theta }{\sqrt{u^2+p^2}\sqrt{v^2+q^2}}\mathrm{.}$$$0\leqq \theta \leqq \pi$ で $\cos \theta$ は減少し、$p,q>0$ だから右辺は減少する。従って $\mathrm{\angle }ABC$ は増加する。

(2) 対角線 $AC$ を共通境界として、三角形 $ABC$ と $ACD$ の半平面を考える。三角形 $ACD$ を $AC$ のまわりに回し、三角形 $ABC$ と反対側の同一平面まで開く。

この操作で $\mathrm{\angle }ABC,\mathrm{\angle }CDA$ は変わらない。(1)を頂点 $A,C$ に適用すると、$\mathrm{\angle }DAB,\mathrm{\angle }BCD$ は減少しない。開いた後の4点は平面上の四角形を作り、その4内角の和は $2\pi$ である。従って開く前について$$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }BCD+\mathrm{\angle }CDA+\mathrm{\angle }DAB\leqq 2\pi \mathrm{.}$$