東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

球面 $S$ 上の点 $P$ と，立方体の頂点の一つ $A$ を考える。線分 $PA$ 上の点は $$P+\lambda (A-P)(0\leqq \lambda \leqq 1)$$ と表せる。$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=r$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }P+\lambda (A-P){\mathrm{\mid }}^2-r^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2+2\lambda P\cdot (A-P)+{\lambda }^2\mathrm{\mid }A-P{\mathrm{\mid }}^2-r^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda \{2(P\cdot A-r^2)+\lambda \mathrm{\mid }A-P{\mathrm{\mid }}^2\}}\end{array}$$である。 $0<\lambda \leqq 1$ に対してこの値が負にならなければ，線分 $PA$ は球の内側に入らず，共有点は $P$ だけである。$\lambda$ を十分小さくしたときの符号も考えると，これは $P\cdot A\geqq r^2$ と同値である。

立方体の頂点は ${\displaystyle \frac{l}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ と書ける。球面上の点を $$P=r(u,v,w),u^2+v^2+w^2=1$$ とおくと，ある頂点が見える条件は $${\displaystyle \frac{lr}{2}}(\pm u\pm v\pm w)\geqq r^2$$ すなわち $$\pm u\pm v\pm w\geqq {\displaystyle \frac{2r}{l}}$$ である。

固定した $(u,v,w)$ に対して，八つの符号和の最大値は $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$ である。したがって，すべての $P$ から少なくとも1点が見えるための必要十分条件は $$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }\geqq {\displaystyle \frac{2r}{l}}$$ がすべての $u^2+v^2+w^2=1$ で成り立つことである。

ここで $$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }\geqq \sqrt{u^2+v^2+w^2}=1$$ であり，等号は $(u,v,w)=(1,0,0)$ などで成り立つ。よって左辺の最小値は $1$ である。したがって必要十分条件は ${\displaystyle \frac{2r}{l}}\leqq 1$ すなわち $$r\leqq {\displaystyle \frac{l}{2}}$$ である。この条件の下では頂点の距離 $\sqrt{3}l\mathrm{/}2$ は $r$ より大きいので，頂点は球面の外側にある。

(2)

今度は，すべての $P$ から少なくとも2点が見える条件を考える。座標軸の入れ替えと符号の反転に関する対称性により，$u\geqq v\geqq w\geqq 0$ としてよい。このとき八つの符号和のうち最も大きいものは $u+v+w$ であり，2番目に大きいものは $u+v-w$ である。実際，ほかの候補 $u-v+w$ や $-u+v+w$ は，$v\geqq w$，$u\geqq w$ により $u+v-w$ 以下である。

したがって，少なくとも2点が見えるためには，すべての $$u\geqq v\geqq w\geqq 0,u^2+v^2+w^2=1$$ に対して $$u+v-w\geqq {\displaystyle \frac{2r}{l}}$$ が成り立つことが必要十分である。

この左辺の最小値を求める。$v-w\geqq 0$ だから $u+v-w\geqq u$ である。また $u\geqq v\geqq w\geqq 0$ より $1=u^2+v^2+w^2\leqq 3u^2$ なので $u\geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。したがって $$u+v-w\geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。等号は $u=v=w={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ のとき成り立つから，最小値は $1\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。

よって必要十分条件は $${\displaystyle \frac{2r}{l}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ すなわち $$r\leqq {\displaystyle \frac{l}{2\sqrt{3}}}$$ である。この条件でも各頂点は球面の外側にある。

点$P$における球の接平面を考える。頂点が見えることは，その頂点が接平面の外側の半空間にあることと同値である。立方体の8頂点を符号ベクトルで表し，接平面の外側にある頂点の個数を符号和の大きい順に調べる。

球面上の点を$$P=r\mathit{u},\mathit{u}=(u,v,w),u^2+v^2+w^2=1$$とする。$P$における球の接平面は$$\mathit{u}\cdot \mathit{x}=r$$であり，球は$$\mathit{u}\cdot \mathit{x}\leqq r$$の側にある。したがって，外部の点$A$が$P$から見えるための必要十分条件は$$\mathit{u}\cdot A\geqq r$$である。

立方体の頂点は$$A={\displaystyle \frac{l}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$$と表せるので，可視条件は$$\begin{array}{cccc}& \pm u\pm v\pm w\geqq {\displaystyle \frac{2r}{l}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)

8個の符号和の最大値は$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$$である。この値は$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }\geqq \sqrt{u^2+v^2+w^2}=1$$を満たし，$(u,v,w)=(1,0,0)$などで1になる。よってすべての$P$で(1)を満たす頂点が少なくとも1個あるための必要十分条件は$${\displaystyle \frac{2r}{l}}\leqq 1,$$すなわち$$r\leqq {\displaystyle \frac{l}{2}}\mathrm{.}$$(2)

立方体の対称性により$$u\geqq v\geqq w\geqq 0$$としてよい。このとき最大の符号和は$u+v+w$，2番目は$u+v-w$である。さらに$$u+v-w\geqq u,1=u^2+v^2+w^2\leqq 3u^2$$だから$$u+v-w\geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$等号は$$u=v=w={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$のとき成り立つ。したがって，すべての$P$から少なくとも2頂点が見えるための必要十分条件は$${\displaystyle \frac{2r}{l}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},$$すなわち$$r\leqq {\displaystyle \frac{l}{2\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$