東京大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$q=1-p$ とおく。第1工程の欠陥により両工程をやり直す回数を $j$、第2工程だけをやり直す回数を $i$ とする。この後に両工程が合格する確率は $q^2{p}^{i+j}$、作業日数は $3+2i+3j$ である。

(1) 1週間は6作業日なので、可能な $(i,j)$ は $(0,0),(1,0),(0,1)$ である。よって$$P(1)=q^2(1+2p)=1-3p^2+2p^3\mathrm{.}$$(2)$$P(n)=q^2\sum _{\begin{array}{c}i,j\geqq 0\\ 2i+3j\leqq 6n-3\end{array}}{p}^{i+j}\mathrm{.}$$$j=0,\dots ,2n-1$ として内側の等比数列を足し、$j=2k,2k+1$ を組にすると、打ち切られる項の指数はいずれも $3n-1-k$ となる。したがって$$P(n)=1-p^{2n}-2p^{2n}(1-p^n)=1-3p^{2n}+2p^{3n}\mathrm{.}$$(3) $p=1\mathrm{/}2$ のとき$$1-P(n)={\displaystyle \frac{3}{4^n}}-{\displaystyle \frac{2}{8^n}}\mathrm{.}$$$n=5$ では $47\mathrm{/}16384>1\mathrm{/}1000$、$n=6$ では $95\mathrm{/}131072<1\mathrm{/}1000$ であり、この値は $n$ とともに減少する。よって最小の正整数は $n=6$ である。

第1工程が不良となる回数と、第1工程合格後に第2工程だけを直す回数を独立な幾何分布として扱う。所要作業日数の条件を数え上げる。

$q=1-p$ とする。第1工程が不良となって全工程をやり直す回数を
$J$、第1工程が合格した後に第2工程だけをやり直す回数を $I$ とする。
独立性から$$\mathrm{Pr}(J=j,I=i)=q^2{p}^{i+j}(i,j\geqq 0)\mathrm{.}$$作業日数は$$T=3(J+1)+2I$$である。

(1)
6作業日以内では $(I,J)=(0,0),(1,0),(0,1)$ が可能なので$$P(1)=q^2(1+2p)=1-3p^2+2p^3\mathrm{.}$$(2)$$P(n)=q^2\sum _{\begin{array}{c}i,j\geqq 0\\ 2i+3j\leqq 6n-3\end{array}}{p}^{i+j}\mathrm{.}$$$j=0,\dots ,2n-1$ として $i$ の等比和を取り、
$j=2k$ と $j=2k+1$ を組にすると$$P(n)=1-3p^{2n}+2p^{3n}\mathrm{.}$$確認として $n=1$ を代入すると (1) と一致する。また$$P(n+1)-P(n)=p^{2n}(1-p)\{3(1+p)-2p^n(1+p+p^2)\}>0$$であり、週数とともに確率が増えることとも整合する。

(3)
$p=1\mathrm{/}2$ のとき$$1-P(n)={\displaystyle \frac{3}{4^n}}-{\displaystyle \frac{2}{8^n}}\mathrm{.}$$$$1-P(5)={\displaystyle \frac{47}{16384}}>{\displaystyle \frac{1}{1000}},1-P(6)={\displaystyle \frac{95}{131072}}<{\displaystyle \frac{1}{1000}}\mathrm{.}$$上式は $n$ とともに減少するので、最小の正整数は$$n=6$$である。