東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $1\leqq j\leqq 6$ とする。$a_n=j$ となるのは，$c_n=j$ であり，かつ $c_1,c_2,\dots ,c_{n-1}$ がすべて $j$ 以下であるときである。したがって $$P(a_n=j)={\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{j}{6}}\right)}^{n-1}$$ である。

よって期待値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(n)}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{6}jP(a_n=j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{6}j\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{j}{6}}\right)}^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^6{\left({\displaystyle \frac{j}{6}}\right)}^n}\end{array}$$である。この和のうち $j=6$ の項は常に $1$ であり，$1\leqq j\leqq 5$ の項は $n\to \mathrm{\infty }$ で $0$ に近づく。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }E(n)=1$$である。

(2) $a_k=2$ となるのは，$c_k=2$ であり，かつ $c_1,c_2,\dots ,c_{k-1}$ がすべて $2$ 以下であるときである。したがって$$P(a_k=2)={\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{2}{6}}\right)}^{k-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{k-1}$$である。 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ のうち2に等しいものの個数は，各 $k$ についての事象 $a_k=2$ の指示量を足したものである。期待値は和に分けられるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N(n)}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}P(a_k=2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{k-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1-(1\mathrm{/}3{)}^n}{1-1\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\{1-(1\mathrm{/}3{)}^n\}}\end{array}$$である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }N(n)={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。

(1) は最初の$n-1$回に6が出たかどうかで分ける。6が出ていれば$a_n$の条件付き期待値はちょうど1であり，まだ出ていない事象の確率は0へ収束する。(2)は「初めて3以上が出るまでに現れる2の個数」と見て，残り回数に関する漸化式を立てる。

(1)

最初の$n-1$回に少なくとも1回6が出る事象を$H_n$とする。この事象の確率は$$P(H_n)=1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$$H_n$が起きているとき，$a_n\mathrm{\ne }0$となるのは$c_n=6$のときだけである。したがって$H_n$のもとでの$a_n$の期待値は$$6\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}=1.$$一方，$H_n$が起きていない場合でも$$0\leqq a_n\leqq 6$$である。よって$$P(H_n)\leqq E(n)\leqq P(H_n)+6\{1-P(H_n)\}\mathrm{.}$$$n\to \mathrm{\infty }$のとき両端はともに1へ収束するから，$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }E(n)=1.$$(2)

$a_k=2$となるのは，最初に3以上の目が出る前に2が出たときに限る。最初の$n$回について，初めて3以上が出るまでに現れる2の個数の期待値を$M_n$とする。これは$N(n)$に等しい。

第1投が2なら1個を数えて同じ問題が$n-1$回残り，第1投が1なら個数を増やさず同じ問題が残る。第1投が3以上ならそこで終了する。したがって$$M_n={\displaystyle \frac{1}{6}}(1+M_{n-1})+{\displaystyle \frac{1}{6}}{M}_{n-1},M_0=0.$$すなわち$$M_n={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{M}_{n-1}\mathrm{.}$$この漸化式を解くと$$M_n={\displaystyle \frac{1}{4}}(M_0-{\displaystyle \frac{1}{4}}){\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n={\displaystyle \frac{1}{4}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\}\mathrm{.}$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }N(n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_n={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$