東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

1つの桁に注目し，第 $n$ 回の写しでその桁が1である確率を $r_n$ とする。次に書き写すとき，前の桁が0なら確率 $p$ で1になり，前の桁が1なら確率 $1-q$ で1のままである。したがって $$r_{n+1}=p(1-r_n)+(1-q)r_n$$ である。整理すると $r_{n+1}=p+(1-p-q)r_n$ となる。

この漸化式の極限を $r$ とすれば $r=p+(1-p-q)r$ であるから $$r={\displaystyle \frac{p}{p+q}}$$ である。実際，$$r_{n+1}-{\displaystyle \frac{p}{p+q}}=(1-p-q)(r_n-{\displaystyle \frac{p}{p+q}})$$ であり，$0<p<1$，$0<q<1$ より $-1<1-p-q<1$ だから，$r_n$ は初期値が0でも1でも ${\displaystyle \frac{p}{p+q}}$ に近づく。

したがって十分多く写した後，1つの桁が1である確率は ${\displaystyle \frac{p}{p+q}}$ に近づき，0である確率は $$1-{\displaystyle \frac{p}{p+q}}={\displaystyle \frac{q}{p+q}}$$ に近づく。

元の列 $S=10110$ には1が3個，0が2個ある。各桁の写し間違いは互いに独立に起こり，桁ごとの変化規則も同じである。よって $S_n$ が $S$ と一致する確率の極限は，元が1である3桁が1になる極限確率と，元が0である2桁が0になる極限確率の積である。すなわち$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }C(n)={\left({\displaystyle \frac{p}{p+q}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{q}{p+q}}\right)}^2={\displaystyle \frac{p^3{q}^2}{(p+q{)}^5}}$$である。

元の桁が1の場合と0の場合を分け、各桁が元の値に一致する確率を
明示式まで求める。5桁全体の確率 $C(n)$ を有限段階で積の形に
書いてから極限を取れば、初期値の違いも独立性も見通しよく確認できる。

1桁について、第 $n$ 回の写しが1である確率を $r_n$ とする。
写す前を第0回と数えると$$r_{n+1}=p(1-r_n)+(1-q)r_n=p+(1-p-q)r_n\mathrm{.}$$$$\lambda =1-p-q,r={\displaystyle \frac{p}{p+q}}$$と置けば$$r_{n+1}-r=\lambda (r_n-r),\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }<1.$$元の桁が1なら $r_0=1$ なので、第 $n$ 回にも1である確率は$${\alpha }_n={\displaystyle \frac{p}{p+q}}+{\displaystyle \frac{q}{p+q}}{\lambda }^n\mathrm{.}$$元の桁が0なら $r_0=0$ であり、第 $n$ 回にも0である確率は$${\beta }_n=1-\{{\displaystyle \frac{p}{p+q}}-{\displaystyle \frac{p}{p+q}}{\lambda }^n\}={\displaystyle \frac{q}{p+q}}+{\displaystyle \frac{p}{p+q}}{\lambda }^n\mathrm{.}$$元の列 $10110$ は1を3個、0を2個含む。各桁の誤写は独立であるから$$C(n)={\alpha }_n^3{\beta }_n^2\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }<1$ より ${\lambda }^n\to 0$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }C(n)={\left({\displaystyle \frac{p}{p+q}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{q}{p+q}}\right)}^2={\displaystyle \frac{p^3{q}^2}{(p+q{)}^5}}\mathrm{.}$$