東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
最初に北または南へ動いた回を $m$ と仮定する。その移動の $y$ 成分の絶対値は $2^{-m}$ である。
一方、その後の $y$ 方向の移動量の絶対値の総和は高々$$\sum _{k=m+1}^n{2}^{-k}<2^{-m}\mathrm{.}$$したがって最初の移動を完全に打ち消せず、$P_n$ の $y$ 座標は0にならない。
よって $P_n$ が $x$ 軸上なら北・南への移動は一度もなく、途中の点もすべて $x$ 軸上にある。

(2)
(1) と同じ議論から、$x=0$ となるのは東西への移動が一度もない場合に限る。したがって$$\mathrm{Pr}(x=0)={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n,\mathrm{Pr}(y=0)={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$両方が0なのは毎回5または6の場合だけなので$$\mathrm{Pr}(x=0,y=0)={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$よって両座標が0でない確率は$$1-2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$目1と3、目2と4を入れ替える対応により4象限は等確率である。したがって第1象限に入る確率は$${\displaystyle \frac{1}{4}}\{1-2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\}\mathrm{.}$$最初の移動が残り全体を支配する

座標を $2^n$ 倍して、符号付き2進整数として扱う。
最上位の非零桁は下位桁の総和では消えないため、座標が0となる条件を桁の一意性から判定する。

(1)
$P_n$ の $y$ 座標を $Y_n$ とする。各回の南北成分を$${\epsilon }_k\in \{-1,0,1\}$$と書けば$$2^n{Y}_n=\sum _{k=1}^n{\epsilon }_k{2}^{n-k}\mathrm{.}$$最初に ${\epsilon }_m\mathrm{\ne }0$ となったとすると、最上位項の絶対値は $2^{n-m}$ であり、
残りの絶対値の和は高々$$2^{n-m-1}+\cdots +2+1=2^{n-m}-1.$$よって和は0にならない。したがって $Y_n=0$ ならすべての ${\epsilon }_k=0$ であり、
全時刻で $Y_k=0$ となる。

(2)
同じ整数表示を $x$ 座標にも使うと、$x=0$ は東西移動が一度もないことと同値である。
したがって$$\mathrm{Pr}(x\mathrm{\ne }0,y\mathrm{\ne }0)=1-2{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{2}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$各出目列に対し、東西反転と南北反転を独立に施せるので、
両座標が非零の出目列は4象限へ同数ずつ対応する。ゆえに求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{4}}\{1-2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\}\mathrm{.}$$