東京大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
$A$ のカードを $a_1<a_2$、$B$ のカードを $b_1<b_2$ とする。
2回の対戦の対応付けは$$(a_1,b_1),(a_2,b_2)$$または$$(a_1,b_2),(a_2,b_1)$$の2通りである。$A$ がどちらを先に出しても、$B$ は返すカードを選ぶことでこの2通りのうち
$A$ の総得点が小さい方を実現できる。したがって $A$ はどちらを先に出してもよい。

(2)
配られた4枚を小さい順に $c_1<c_2<c_3<c_4$ とする。
$A$ の持ち方6通りと最適な総得点は$$\begin{array}{ccccccc}A\text{ の順位}& 12& 13& 14& 23& 24& 34\\ \text{得点}& 0& 0& 1& 1& 1& 2\end{array}$$である。6通りは等確率なので$$<mi\; mathvariant="normal">E</mi>[A\text{ の得点}]={\displaystyle \frac{0+0+1+1+1+2}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\mathrm{.}$$(3)
$A$ のカードを $(k,14-k)$，$1\leqq k\leqq 6$ とする。
$B$ の選び方は$${}_{11}{\mathrm{C}}_2=55$$通りである。$A$ が2点を確実に得るのは、$B$ の2枚がともに $k$ より小さいときなので、その組数は$$N_2={}_{k-1}{\mathrm{C}}_2\mathrm{.}$$$A$ が0点となる組を $B$ の大きい方 $d$ で数えると$$N_0=\sum _{d=15-k}^{13}(d-k-2)={\displaystyle \frac{(k-1)(24-3k)}{2}}\mathrm{.}$$残りは1点なので$${<mi\; mathvariant="normal">E</mi>}_k=1-{\displaystyle \frac{N_0-N_2}{55}}=1-{\displaystyle \frac{(k-1)(13-2k)}{55}}\mathrm{.}$$値を並べると$$\begin{array}{ccccccc}k& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {<mi\; mathvariant="normal">E</mi>}_k& 1& {\displaystyle \frac{46}{55}}& {\displaystyle \frac{41}{55}}& {\displaystyle \frac{8}{11}}& {\displaystyle \frac{43}{55}}& {\displaystyle \frac{10}{11}}\end{array}$$である。したがって最大は$$\{1,13\},\text{期待値 }1,$$最小は$$\{4,10\},\text{期待値 }{\displaystyle \frac{8}{11}}$$である。

2通りのカード対応

2回の対戦を2行2列の対応表として整理し、$B$ が小さい総得点を選ぶゲームとみなす。
(2) は4枚内の順位だけで分類し、(3) は得点2と0の差だけを直接数えて期待値を出す。

(1)
$a_1<a_2$，$b_1<b_2$ とする。各対戦について勝てば1、負ければ0と数える。
$A$ が $a_1$ を先に出したとき、$B$ の返し方により生じる2通りの組合せは$$\{(a_1,b_1),(a_2,b_2)\},\{(a_1,b_2),(a_2,b_1)\}$$である。$a_2$ を先に出すと、この2通りの順序が入れ替わるだけである。
$B$ は小さい方を選ぶので、$A$ の初手はどちらでも同じである。

(2)
4枚の具体的な数字は大小関係にだけ影響する。小さい順の順位を1,2,3,4と書くと、
$A$ の手札が $12,13$ のとき0点、$14,23,24$ のとき1点、$34$ のとき2点である。
よって$$<mi\; mathvariant="normal">E</mi>[A\text{ の得点}]=0\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}+1\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\mathrm{.}$$(3)
$A=\{k,14-k\}$ とする。期待値は、基準の1点に対し「2点の組」を加え「0点の組」を引けばよい。
2点の組数は$$N_2={}_{k-1}{\mathrm{C}}_2\mathrm{.}$$0点にできるのは、$B$ の小さいカードが $k$ より大きく、大きいカードが $14-k$ より大きい場合である。
大きいカードを $d=15-k,\dots ,13$ とすると、小さいカードの候補は $d-k-2$ 枚なので$$N_0=\sum _{d=15-k}^{13}(d-k-2)={\displaystyle \frac{(k-1)(24-3k)}{2}}\mathrm{.}$$したがって$${<mi\; mathvariant="normal">E</mi>}_k=1+{\displaystyle \frac{N_2-N_0}{55}}=1-{\displaystyle \frac{(k-1)(13-2k)}{55}}\mathrm{.}$$$k=1,\dots ,6$ を代入して比較すると、最大は $\{1,13\}$ で期待値1、
最小は $\{4,10\}$ で期待値$${\displaystyle \frac{8}{11}}$$である。