東京大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
他の2頂点を固定すると、三角形の面積は残る頂点から対辺の直線までの距離に比例する。
その頂点が所属する円板の内部にあれば、対辺から遠ざかる向きへ円周まで動かして面積を増やせる。
よって最大三角形の各頂点は $E$ または $F$ 上にある。

(2)
弦 $AB$ の長さは$$AB=2\sqrt{1-p^2}\mathrm{.}$$これは $p$ を固定すれば一定である。直線 $AB$ の単位法線ベクトルを $\mathit{n}$ とする。
$P,Q$ の法線方向への射影差は$$\mathrm{\mid }\mathit{n}\cdot \overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }\leqq PQ=1.$$$C$ を2円板のどちらにとっても、直線 $AB$ からの高さは$$2+p$$以下である。等号を得るには、$P,Q$ の射影差が1でなければならない。
したがって $\mathit{n}\parallel PQ$、すなわち$$AB\perp PQ$$である。

(3)
弦 $AB$ を $P$ から $Q$ と反対側へ距離 $p$ の位置に置き、
$C$ を $Q$ からさらに同じ向きへ1だけ進んだ円周上にとれば、高さ $2+p$ を実現する。
よって$$S(p)=(2+p)\sqrt{1-p^2}(0\leqq p\leqq 1)\mathrm{.}$$これを微分すると、導関数の符号は$$1-2p-2p^2$$で決まる。したがって最大点は$$p={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\mathrm{.}$$このとき$$S_{\max }^{}={\displaystyle \frac{9+6\sqrt{3}}{4}}$$なので$$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{9+6\sqrt{3}}\mathrm{.}$$最大配置の弦と2つの円

$P=(0,0)$，$Q=(1,0)$ と座標化する。
固定弦の方向を法線角で表して高さの最大値を直接比較し、最後は $p=\cos \alpha$ の三角関数で最大化する。

(1)
2つの単位円板の和集合を $D$ とする。2頂点を固定したとき、残る頂点について面積は対辺からの距離の定数倍である。
頂点が円板の内部にあれば、その円板内で対辺から遠ざかる方向へ境界まで動かせる。
よって最大時には各頂点がどちらかの円周上にある。

(2)
3頂点のうち少なくとも2頂点は同じ円周上にあるので、それを $A,B\in E$ とする。
弦 $AB$ の直線を$$\mathit{n}\cdot \mathit{x}=c,\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=p$$と書く。弦長は $2\sqrt{1-p^2}$ である。
$P=(0,0)$，$Q=(1,0)$ とすれば、$Q$ の法線方向の座標の絶対値は高々1である。
したがって2円板内の点と弦との距離は高々 $2+p$ であり、
これを実現するには $$\mathrm{\mid }\mathit{n}\cdot Q\mathrm{\mid }=1$$ が必要である。
よって $\mathit{n}$ は $PQ$ と平行、すなわち $AB\perp PQ$ である。

(3)
$p=\cos \alpha$，$0\leqq \alpha \leqq \pi \mathrm{/}2$ とおく。
最大配置では弦の半分が $\sin \alpha$、高さが $2+\cos \alpha$ なので$$S(\alpha )=(2+\cos \alpha )\sin \alpha \mathrm{.}$$微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=2\cos \alpha +2{\cos }^2\alpha -1.$$$p=\cos \alpha$ に戻せば、停留条件は$$2p^2+2p-1=0.$$範囲内の解 $p=(\sqrt{3}-1)\mathrm{/}2$ で増加から減少へ変わる。
代入して$$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{9+6\sqrt{3}}$$を得る。