東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
$P=(au,bv)$ とおくと $u^2-v^2=1$ であり、接線は$${\displaystyle \frac{ux}{a}}-{\displaystyle \frac{vy}{b}}=1.$$漸近線 $y=\pm bx\mathrm{/}a$ との交点は$$Q=({\displaystyle \frac{a}{u-v}},{\displaystyle \frac{b}{u-v}}),R=({\displaystyle \frac{a}{u+v}},-{\displaystyle \frac{b}{u+v}})\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid x_Q{y}_R-y_Q{x}_R\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid {\displaystyle \frac{-2ab}{(u-v)(u+v)}}\mid =ab\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $S$ は $P$ によらない。

(2)
$z=e^t>0$ とおくと$$S=ab=5z^4+6z+z^{-2}\mathrm{.}$$微分すれば$${\displaystyle \frac{dS}{dz}}=20z^3+6-2z^{-3}\mathrm{.}$$$w=z^3>0$ とおくと、停留条件は$$10w^2+3w-1=0$$であり、$w=1\mathrm{/}5$ を得る。また$${\displaystyle \frac{d^{2}S}{d{z}^2}}=60z^2+6z^{-4}>0$$なので最小である。$z^3=1\mathrm{/}5$ では $5z^4=z$，$z^{-2}=5z$ より$$S_{\min }=12z={\displaystyle \frac{12}{\sqrt[3]{5}}}\mathrm{.}$$接線が漸近線から切り取る三角形

$X=x\mathrm{/}a$，$Y=y\mathrm{/}b$ の拡大縮小で標準双曲線へ移し、標準図形の面積が1であることを使う。
最小化は $t$ のまま微分して導関数の符号変化を確認する。

(1) $$X={\displaystyle \frac{x}{a}},Y={\displaystyle \frac{y}{b}}$$とおくと、双曲線は $X^2-Y^2=1$、漸近線は $Y=\pm X$ になる。
標準双曲線上の点を $(u,v)$ とすれば接線は $uX-vY=1$ であり、
漸近線との交点は$$({\displaystyle \frac{1}{u-v}},{\displaystyle \frac{1}{u-v}}),({\displaystyle \frac{1}{u+v}},-{\displaystyle \frac{1}{u+v}})\mathrm{.}$$$u^2-v^2=1$ より、この2点と原点が作る三角形の面積は1である。
元の平面への変換は横を $a$ 倍、縦を $b$ 倍するので、面積は $ab$ 倍される。
よって $S=ab$ で一定である。

(2) $$S(t)=5e^{4t}+6e^t+e^{-2t}\mathrm{.}$$したがって$$S^{\mathrm{\prime }}(t)=20e^{4t}+6e^t-2e^{-2t}=2e^{-2t}(10e^{6t}+3e^{3t}-1)\mathrm{.}$$$u=e^{3t}>0$ とおくと、括弧内は $10u^2+3u-1$ であり、
正の根は $u=1\mathrm{/}5$ だけである。この二次式は正の範囲で単調増加するので、
$S^{\mathrm{\prime }}(t)$ はこの点の前で負、後で正となる。
よって $e^{3t}=1\mathrm{/}5$ で最小となり$$S_{\min }={\displaystyle \frac{12}{\sqrt[3]{5}}}\mathrm{.}$$