東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

1，2，5，6のカードを引く確率はそれぞれ$q$，3のカードを引く確率は$p$である。したがって4のカードを引く確率は $r=1-p-4q$ である。 $a+b\leqq 4$となるのは $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1)$ の場合である。よって $$P(A)=q^2+q^2+q^2+q^2+pq+pq=4q^2+2pq$$ である。

次に$B$を求める。2回の数字が異なるとき，$a<b$と$a>b$は対称に起こる。したがって $P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}P(a\mathrm{\ne }b)$ である。2回の数字が等しい確率は $4q^2+p^2+r^2$ であるから $$P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{1-4q^2-p^2-(1-p-4q{)}^2\}$$ である。

したがって $E=2P(A)+P(B)$ は $$E=2(4q^2+2pq)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\{1-4q^2-p^2-(1-p-4q{)}^2\}$$ である。展開すると $E=p-p^2+4q-2q^2$ である。

(2) $1\mathrm{/}p$と$1\mathrm{/}q$が自然数なので $$p={\displaystyle \frac{1}{m}},q={\displaystyle \frac{1}{n}}$$ とおける。ただし$m,n$は自然数である。4のカードの確率が正であることから $1-p-4q>0$ であり，特に$4q<1$である。よって $n\geqq 5$ である。

まず$n=5$，すなわち$q=1\mathrm{/}5$の場合を考える。このとき$p<1\mathrm{/}5$なので$m\geqq 6$である。$0<p<1\mathrm{/}2$では$p-p^2$は増加するから，$m\geqq 6$の中では$m=6$，すなわち$p=1\mathrm{/}6$のとき最大になる。このとき $$E={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{36}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{25}}={\displaystyle \frac{773}{900}}$$ である。

次に$n\geqq 6$とする。このとき$q\leqq 1\mathrm{/}6$である。 $q<1\mathrm{/}8$の場合，$p-p^2\leqq 1\mathrm{/}4$であり，また$4q-2q^2$は$0<q<1\mathrm{/}8$で増加するので $$4q-2q^2<4\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}-2{\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}^2={\displaystyle \frac{15}{32}}$$ である。したがって $$E<{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{15}{32}}={\displaystyle \frac{23}{32}}<{\displaystyle \frac{773}{900}}$$ である。 $1\mathrm{/}8\leqq q\leqq 1\mathrm{/}6$の場合，$p<1-4q\leqq 1\mathrm{/}2$である。$0<p<1\mathrm{/}2$で$p-p^2$は増加するから $$p-p^2<(1-4q)-(1-4q{)}^2=4q-16q^2$$ である。よって $E<8q-18q^2$ である。関数$8q-18q^2$は$1\mathrm{/}8\leqq q\leqq 1\mathrm{/}6$で増加するので $$E<8\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}-18{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2={\displaystyle \frac{5}{6}}<{\displaystyle \frac{773}{900}}$$ である。

以上より，$n\geqq 6$では$E=773\mathrm{/}900$を超えない。したがって$E$を最大にするのは $${\displaystyle p={\displaystyle \frac{1}{6}},q={\displaystyle \frac{1}{5}}}$$ である。

(1) は順序対を直接数える。(2)は $q=1\mathrm{/}n$ ごとに許される最大の $p=1\mathrm{/}m$ を選び、少数の境界候補と単調な上界に分けて離散条件を処理する。

(1)
4のカードの確率を $r=1-p-4q$ とする。$A$ に属する順序対は$$(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1)$$だから$$P(A)=4q^2+2pq\mathrm{.}$$また、独立同分布な2回の抽出では $a<b$ と $a>b$ は同確率である。
したがって$$P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{1-(4q^2+p^2+r^2)\}\mathrm{.}$$整理して$$E=p-p^2+4q-2q^2\mathrm{.}$$(2)
$p=1\mathrm{/}m,q=1\mathrm{/}n$ とする。$r>0$ より $n\geqq 5$ である。
固定した $q$ のもとでは、$0<p<1\mathrm{/}2$ の範囲で $p-p^2$ は増加する。

$n=5$ では $p<1\mathrm{/}5$ なので最大の候補は $p=1\mathrm{/}6$ であり$$E={\displaystyle \frac{773}{900}}\mathrm{.}$$$n=6,7,8$ では、それぞれ許される最大の $p$ は$$\begin{array}{cccc}n& 6& 7& 8\\ p& 1\mathrm{/}4& 1\mathrm{/}3& 1\mathrm{/}3\end{array}$$である。代入値はいずれも $773\mathrm{/}900$ より小さい。

$n\geqq 9$ では $q\leqq 1\mathrm{/}9$ であり$$p-p^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}},4q-2q^2\leqq {\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{81}}={\displaystyle \frac{34}{81}}\mathrm{.}$$ゆえに$$E\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{34}{81}}={\displaystyle \frac{217}{324}}<{\displaystyle \frac{773}{900}}\mathrm{.}$$したがって最大にする組は$$p={\displaystyle \frac{1}{6}},q={\displaystyle \frac{1}{5}}$$である。このとき $r=1\mathrm{/}30>0$ なので、すべての数字の確率が正という条件も
満たす。