東京大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 球の中心の高さを $h$ とする。$0<r\leqq 1\mathrm{/}2$ では球は底に接して止まり $h=r$ である。

側面に接する場合、接点の動径を $x>0$ とする。球の下側は$$y=h-\sqrt{r^2-x^2}$$であり、放物線 $y=x^2$ と接するから$$2x={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}}\mathrm{.}$$従って $$\sqrt{r^2-x^2}=1\mathrm{/}2$$、すなわち$$x^2=r^2-{\displaystyle \frac{1}{4}},h=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}=r^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$接点が容器の側面 $x\leqq 2$ にある条件は $$r\leqq \sqrt{17}\mathrm{/}2$$ である。これより大きい球は上端の円 $x=2,y=4$ に接して止まり$$h=4+\sqrt{r^2-4}\mathrm{.}$$もとの水面は高さ4だから、求める差は$$s(r)=\{\begin{array}{ll}4-r,& 0<r\leqq 1\mathrm{/}2,\\ {\displaystyle \frac{15}{4}}-r^2,& 1\mathrm{/}2\leqq r\leqq \sqrt{17}\mathrm{/}2,\\ -\sqrt{r^2-4},& r\geqq \sqrt{17}\mathrm{/}2.\end{array}$$(2) あふれる体積は球のうち平面 $y=4$ より下に入る部分の体積である。$r\leqq 3\mathrm{/}2$ では球全体が水面下にあり$$V={\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}}$$で、これは増加する。$$3\mathrm{/}2<r\leqq \sqrt{17}\mathrm{/}2$$ では、水面下の球冠の高さは$$H=r+s=r+{\displaystyle \frac{15}{4}}-r^2$$である。球冠の体積は$$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{H}^2(3r-H)\mathrm{.}$$微分すると、その符号は $H-(2r-1)$ の符号に一致する。従って最大となるのは$$-r^2+r+{\displaystyle \frac{15}{4}}=2r-1$$を満たすとき、すなわち$$r=\sqrt{5}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$$r\geqq \sqrt{17}\mathrm{/}2$$ では $$H=r-\sqrt{r^2-4}$$ となり、直接微分すると $V$ は減少する。境界値も上の極大値より小さい。よって求める半径は$$r=\sqrt{5}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

(1) は球の中心高 $h$ を、底・放物面・上端のどこに接するかで求める。
(2)では水面下の球部分の高さ $H=r+4-h$ を主変数にし、球冠公式を
使う。上端接触後は $2rH-H^2=4$ へ置き換えると単調性を短く示せる。

(1)

球の中心を $(0,h)$ とする。$0<r\leqq 1\mathrm{/}2$ では底に接して
$h=r$ である。放物線に接する場合、接点の横座標を $x>0$ とすると
球の下側は$$y=h-\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{.}$$$y=x^2$ と接するので傾きが等しく$$2x={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}}\mathrm{.}$$よって$$x^2=r^2-{\displaystyle \frac{1}{4}},h=r^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$接点が $x\leqq 2$ にある条件は $$r\leqq \sqrt{17}\mathrm{/}2$$ である。
それより大きいときは上端 $(2,4)$ に接し$$h=4+\sqrt{r^2-4}\mathrm{.}$$したがって $s=4-h$ は$$s(r)=\{\begin{array}{ll}4-r,& 0<r\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},\\ {\displaystyle \frac{15}{4}}-r^2,& {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq r\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}},\\ -\sqrt{r^2-4},& r\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}}\mathrm{.}\end{array}$$境界では隣り合う式の値が一致する。

(2)

水面下に入る球部分の高さを$$H=r+s=r+4-h$$とする。$r\leqq 3\mathrm{/}2$ では $H=2r$ で球全体が水面下にあり、$$V={\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}}$$は増加する。$$3\mathrm{/}2<r\leqq \sqrt{17}\mathrm{/}2$$ では$$H=-r^2+r+{\displaystyle \frac{15}{4}},V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{H}^2(3r-H)\mathrm{.}$$微分して整理すると$$V^{\mathrm{\prime }}=2\pi rH\{H-(2r-1)\}\mathrm{.}$$この範囲で $rH>0$ なので、増減が切り替わるのは$$-r^2+r+{\displaystyle \frac{15}{4}}=2r-1$$のときである。正の解は$$r=\sqrt{5}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$$r\geqq \sqrt{17}\mathrm{/}2$$ では$$H=r-\sqrt{r^2-4}\mathrm{.}$$$2rH-H^2=4$ から$$r={\displaystyle \frac{H^2+4}{2H}},V={\displaystyle \frac{\pi }{6}}H(H^2+12)\mathrm{.}$$$r$ が増えると $H$ は減り、右辺は $H>0$ で増加関数だから
$V$ は減少する。以上より全範囲での最大は$$r=\sqrt{5}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$のときに得られる。