東京大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
$N=10000$では10000種類の表示が各1回ずつ対応するので$$p_{10000}={\displaystyle \frac{1}{10000}}\mathrm{.}$$(2)
$N=10001$では一つの表示だけが2個の整数に対応し、残り9999種類は1個ずつ対応する。従って$$p_{10001}={\displaystyle \frac{2^2+9999}{{10001}^2}}={\displaystyle \frac{10003}{{10001}^2}}>{\displaystyle \frac{1}{10000}}\mathrm{.}$$差は$$p_{10001}-p_{10000}={\displaystyle \frac{9999}{10000\cdot {10001}^2}}\fallingdotseq 9.997\times {10}^{-9}\mathrm{.}$$有効数字1桁では$1\times {10}^{-8}$である。
(3)
$N=10000+k$ $(0\leqq k\leqq 10000)$とおくと、$k$種類が2回、$10000-k$種類が1回現れるから$$p_N={\displaystyle \frac{4k+(10000-k)}{(10000+k{)}^2}}={\displaystyle \frac{10000+3k}{(10000+k{)}^2}}\mathrm{.}$$右辺を実数$k$の関数とみなすと、導関数の符号は$10000-3k$の符号に一致する。従って整数では$k=3333,3334$を比較し、最大は$k=3333$で$$r=p_{13333}={\displaystyle \frac{19999}{177768889}}\mathrm{.}$$最小は端点で実現し、両端の値が$1\mathrm{/}10000$なので$$q={\displaystyle \frac{1}{10000}}\mathrm{.}$$(4)
一般に各表示値を生じる整数の個数を$c_1,\dots ,c_{10000}$とすれば、$$\sum c_j=N$$かつ$$p_N={\displaystyle \frac{\sum c_j^2}{N^2}}\mathrm{.}$$コーシー・シュワルツの不等式から$$N^2\leqq 10000\sum c_j^2$$なので$p_N\geqq q$である。
次に$N=10000m+k$ $$(m\geqq 1,0\leqq k<10000)$$とおく。$k$種類の個数が$m+1$、残りが$m$だから$$p_N={\displaystyle \frac{10000m^2+(2m+1)k}{(10000m+k{)}^2}}\mathrm{.}$$$m=1$は(3)より$p_N\leqq r$である。$m\geqq 2$では、右辺を実数$k$で最大化すると$k=10000m\mathrm{/}(2m+1)$であり、その値は$${\displaystyle \frac{1}{10000}}(1+{\displaystyle \frac{1}{4m(m+1)}})\leqq {\displaystyle \frac{1}{9600}}\mathrm{.}$$さらに$${\displaystyle \frac{1}{9600}}<{\displaystyle \frac{19999}{177768889}}=r$$だから$p_N<r$である。以上より、すべての$N\geqq 10000$で$q\leqq p_N\leqq r$が成り立つ。

$N=10000m+k$ とし、各4桁表示の出現回数が $m$ または $m+1$ になることを使う。確率を $1\mathrm{/}10000$ と非負の誤差項の和に変形すれば下限が直ちに出る。上限は $m=1$ を整数で厳密に調べ、$m\ge 2$ を連続最大値で一括評価する。

$N=10000m+k$ とおく。ただし $m\ge 1,0\le k<10000$ である。$k$ 種類の表示が $m+1$ 回、残りが $m$ 回現れるので$$p_N={\displaystyle \frac{k(m+1{)}^2+(10000-k)m^2}{N^2}}\mathrm{.}$$これを整理すると$$\begin{array}{cccc}& p_N={\displaystyle \frac{1}{10000}}+{\displaystyle \frac{k(10000-k)}{10000N^2}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)
$N=10000$ では $k=0$ だから$$p_{10000}={\displaystyle \frac{1}{10000}}\mathrm{.}$$(2)
$N=10001$ では $k=1$ なので (1) から$$p_{10001}-p_{10000}={\displaystyle \frac{9999}{10000\cdot {10001}^2}}>0.$$従って $p_{10001}>p_{10000}$ であり、差は有効数字1桁で$$1\times {10}^{-8}$$である。

(3)
$10000\le N\le 20000$ では $m=1$ として$$p_N={\displaystyle \frac{10000+3k}{(10000+k{)}^2}}(0\le k\le 10000)$$を調べればよい。実数 $k$ で微分すると $k=10000\mathrm{/}3$ を境に増加から減少へ変わる。従って整数候補 $k=3333,3334$ を比較し、最大値は$$r=p_{13333}={\displaystyle \frac{19999}{177768889}}\mathrm{.}$$最小値は (1) の誤差項が0となる両端で$$q={\displaystyle \frac{1}{10000}}$$である。

(4)
(1) の第2項は常に0以上なので $p_N\ge q$ である。

$m=1$ では (3) より $p_N\le r$ である。$m\ge 2$ では、$k$ を実数として最大化した値は$${\displaystyle \frac{1}{10000}}(1+{\displaystyle \frac{1}{4m(m+1)}})\mathrm{.}$$従って$$p_N\le {\displaystyle \frac{1}{10000}}(1+{\displaystyle \frac{1}{24}})={\displaystyle \frac{1}{9600}}<r\mathrm{.}$$以上から、すべての $N\ge 10000$ について$$q\le p_N\le r$$が成り立つ。