東京大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$A=(h,k)$、$t=hk$とおくと、$k>0$、$-1<t<1$である。$D=(-u,1\mathrm{/}u)$ $(u>0)$における$H:y=-1\mathrm{/}x$の接線は$$y={\displaystyle \frac{x}{u^2}}+{\displaystyle \frac{2}{u}}\mathrm{.}$$これが$A$を通る条件は$k{u}^2-2u-h=0$である。$D$が$A,B$の間にある根を選ぶと$$u={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+t}}{k}},B=(-2u,0)\mathrm{.}$$同様に$E=(v,1\mathrm{/}v)$における$K:y=1\mathrm{/}x$の接線から$$v={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1-t}}{k}},C=(2v,0)\mathrm{.}$$以下$$\alpha =\sqrt{1+t},\beta =\sqrt{1-t},s=\alpha +\beta$$とおく。$-1<t<1$より$\alpha ,\beta >0$、${\alpha }^2+{\beta }^2=2$である。従って$0<\alpha \beta \leqq 1$から$$\sqrt{2}<s\leqq 2,$$ただし$s=2$は$t=0$で実現する。
(1)
$BC=2(u+v)$、高さは$k$なので$$[ABC]=k(u+v)=2+\alpha +\beta =2+s\mathrm{.}$$よって$$2+\sqrt{2}<[ABC]\leqq 4.$$(2)
$D,E$はそれぞれ辺$AB,AC$上にあり、$y$座標を比べると$${\displaystyle \frac{AD}{AB}}={\displaystyle \frac{k-1\mathrm{/}u}{k}}={\displaystyle \frac{\alpha }{1+\alpha }},{\displaystyle \frac{AE}{AC}}={\displaystyle \frac{\beta }{1+\beta }}\mathrm{.}$$従って面積比より$$[ADE]=[ABC]{\displaystyle \frac{\alpha \beta }{(1+\alpha )(1+\beta )}}\mathrm{.}$$$\alpha \beta =(s^2-2)\mathrm{/}2$と$[ABC]=s+2$を代入して整理すると$$[ADE]={\displaystyle \frac{s^2-2}{s}}=s-{\displaystyle \frac{2}{s}}\mathrm{.}$$これは$s>0$で狭義増加し、$\sqrt{2}<s\leqq 2$だから$$0<[ADE]\leqq 1.$$

左の接線の $x$ 切片を $-L$、右を $R$ と置く。双曲線の接線では接点の $x$ 座標が切片の半分になるため、接点と接線を $L,R$ だけで表せる。接線が $A$ を通る2次方程式を解き、2つの三角形の面積を $t=hk$ の1変数へまとめる。

$$B=(-L,0),C=(R,0)(L>0,R>0)$$とおく。双曲線の接線の性質から接点は$$D=(-{\displaystyle \frac{L}{2}},{\displaystyle \frac{2}{L}}),E=({\displaystyle \frac{R}{2}},{\displaystyle \frac{2}{R}})$$である。

左の接線が $A=(h,k)$ を通る条件は$$k{L}^2-4L-4h=0,$$右の接線については$$k{R}^2-4R+4h=0$$である。$t=hk$ とおくと $-1<t<1$ であり、接点が線分 $AB,AC$ 上にある方の正の解は$$L={\displaystyle \frac{2(1+\sqrt{1+t})}{k}},R={\displaystyle \frac{2(1+\sqrt{1-t})}{k}}\mathrm{.}$$以下$$\alpha =\sqrt{1+t},\beta =\sqrt{1-t},s=\alpha +\beta$$とおく。${\alpha }^2+{\beta }^2=2$ より$$\sqrt{2}<s\le 2.$$右端は $t=0$ で実現し、左端は $t\to \pm 1$ の極限である。

(1)
底辺の長さは $L+R$、高さは $k$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [ABC]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k(L+R)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+\alpha +\beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+s\mathrm{.}}\end{array}$$従って$$2+\sqrt{2}<[ABC]\le 4.$$(2)
座標を用いて三角形 $ADE$ の行列式を計算し、上の $L,R$ を代入すると$$[ADE]=s-{\displaystyle \frac{2}{s}}$$となる。途中式は、$\alpha \beta =(s^2-2)\mathrm{/}2$ と$${\displaystyle \frac{AD}{AB}}={\displaystyle \frac{\alpha }{1+\alpha }},{\displaystyle \frac{AE}{AC}}={\displaystyle \frac{\beta }{1+\beta }}$$を使っても同じ形に整理できる。

$s-2\mathrm{/}s$ は $s>0$ で狭義増加するから$$0<[ADE]\le 1.$$上端は $t=0$ で実現し、下端0は実現しない。