東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $A(a,0)$, $B(0,b)$であり、$C$は第1象限にある。線分$AB$の中点は $({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{b}{2}})$ である。また$$\overrightarrow{AB}=(-a,b)$$に垂直で第1象限側を向くベクトルとして$(b,a)$をとれば、正三角形の第3頂点は $$C=({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{b}{2}})+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(b,a)$$ である。したがって $C({\displaystyle \frac{a+\sqrt{3}b}{2}},{\displaystyle \frac{b+\sqrt{3}a}{2}})$ となる。

三角形$ABC$が正方形$D$に含まれるには、3頂点がすべて$D$に含まれればよい。$a,b$は正なので、$A,B$について $$0<a\leqq 1,0<b\leqq 1$$ が必要である。さらに$C$について ${\displaystyle \frac{a+\sqrt{3}b}{2}}\leqq 1,{\displaystyle \frac{b+\sqrt{3}a}{2}}\leqq 1$ である。よって求める範囲は$$0<a\leqq 1,0<b\leqq 1,a+\sqrt{3}b\leqq 2,\sqrt{3}a+b\leqq 2$$である。

(2)
正三角形の一辺の長さは $$AB=\sqrt{a^2+b^2}$$ であるから、面積は $$S={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(a^2+b^2)$$ である。したがって$a^2+b^2$を最大にすればよい。

(1) の範囲は直線で囲まれる多角形である。$a^2+b^2$は原点からの距離の2乗なので、最大値は境界上、特に候補となる頂点で調べればよい。関係する頂点は$$(1,0),(1,2-\sqrt{3}),(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1),(2-\sqrt{3},1),(0,1)$$である。

それぞれの$a^2+b^2$を比べると、$$(1,0),(0,1)\text{では}{a}^2+b^2=1$$ である。一方、$(1,2-\sqrt{3}),(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1),(2-\sqrt{3},1)$ では、いずれも $a^2+b^2=8-4\sqrt{3}$ である。ここで $8-4\sqrt{3}>1$ なので、最大値はこの3点で達する。

したがって面積の最大値は $$S={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(8-4\sqrt{3})=2\sqrt{3}-3$$ であり、最大となる$(a,b)$は $$(a,b)=(1,2-\sqrt{3}),(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1),(2-\sqrt{3},1)$$ である。

(1) で頂点と辺の長さを条件式に直す。(2)では $a$ を固定したときに許される $b$ の最大値を求め、折れ線状の上端を3区間に分ける。各区間で $a^2+b^2$ が端点最大になることを確かめれば、候補は3点だけに絞れる。

(1)
辺 $AB$ の中点は $(a\mathrm{/}2,b\mathrm{/}2)$ である。第3頂点 $C$ はここから $(b,a)$ の方向に辺長の $\sqrt{3}\mathrm{/}2$ 倍だけ進んだ点だから$$C=({\displaystyle \frac{a+\sqrt{3}b}{2}},{\displaystyle \frac{b+\sqrt{3}a}{2}})\mathrm{.}$$三角形が正方形に含まれることは、3頂点が正方形に含まれることと同値である。従って$$0<a\le 1,0<b\le 1,a+\sqrt{3}b\le 2,\sqrt{3}a+b\le 2$$が必要十分条件である。

(2)
$a$ を固定すると、許される最大の $b$ は$$b_{\max }(a)=\{\begin{array}{ll}1& (0<a\le 2-\sqrt{3}),\\ {\displaystyle \frac{2-a}{\sqrt{3}}}& (2-\sqrt{3}\le a\le \sqrt{3}-1),\\ 2-\sqrt{3}a& (\sqrt{3}-1\le a\le 1)\mathrm{.}\end{array}$$$a^2+b^2$ は $b>0$ で $b$ とともに増えるので、各 $a$ では $b=b_{\max }(a)$ だけを調べればよい。

第1区間では $a^2+1$ は右端で最大である。第2区間では$$a^2+{\displaystyle \frac{(2-a{)}^2}{3}}$$は下に凸な2次式だから、閉区間での最大値は端点のどちらかでとる。第3区間の$$a^2+(2-\sqrt{3}a{)}^2$$も同様に端点最大である。

従って最大点の候補は$$(a,b)=(2-\sqrt{3},1),(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1),(1,2-\sqrt{3})$$の3点である。各点で$$a^2+b^2=1+(2-\sqrt{3}{)}^2=8-4\sqrt{3}$$となる。正三角形の一辺は $$AB=\sqrt{a^2+b^2}$$ だから$$S={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(a^2+b^2)\mathrm{.}$$従って3点すべてで最大となり、その値は$$S=2\sqrt{3}-3$$を得る。