東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $P=(x,y,z)$とする。$PA=PB$より $$(x-1{)}^2+y^2+z^2=x^2+(y-1{)}^2+z^2$$ であるから $x=y$ である。そこで $P=(s,s,z)$ とおく。

条件$PA=rPO$を2乗すると $$(s-1{)}^2+s^2+z^2=r^2(2s^2+z^2)$$ である。整理して $$(1-r^2)(2s^2+z^2)-2s+1=0$$ を得る。 $0<r<1$なので$1-r^2>0$である。これを平方完成すると $$2{(s-{\displaystyle \frac{1}{2(1-r^2)}})}^2+z^2={\displaystyle \frac{2r^2-1}{2(1-r^2{)}^2}}$$ となる。実数$s,z$が存在するためには右辺が0以上であればよい。したがって $2r^2-1\geqq 0$ より $$r\geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。もともと$0<r<1$なので、求める範囲は $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq r<1$$ である。

(2) $$I=\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$$ とおく。$P=(s,s,z)$より$$\overrightarrow{PA}=(1-s,-s,-z),\overrightarrow{PB}=(-s,1-s,-z)$$であるから $I=2s^2-2s+z^2$ である。

一方、条件式から $2s=(1-r^2)(2s^2+z^2)+1$ である。これを用いると $$I=(2s^2+z^2)-2s=r^2(2s^2+z^2)-1$$ となる。したがって、$I$の最大値と最小値の差は、$2s^2+z^2$の最大値と最小値の差に$r^2$を掛けたものである。 $A=1-r^2$とおく。平方完成した式は $$2{(s-{\displaystyle \frac{1}{2A}})}^2+z^2={\displaystyle \frac{2r^2-1}{2A^2}}$$ である。$$u=s-{\displaystyle \frac{1}{2A}}$$とおくと、この楕円上で $$2s^2+z^2=2{(u+{\displaystyle \frac{1}{2A}})}^2+z^2$$ である。右辺を展開し、楕円の式$$2u^2+z^2={\displaystyle \frac{2r^2-1}{2A^2}}$$を使うと、変動する部分は ${\displaystyle \frac{2}{A}}u$ だけである。

楕円上では $$-{\displaystyle \frac{\sqrt{2r^2-1}}{2A}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{2r^2-1}}{2A}}$$ である。したがって$2s^2+z^2$の最大値と最小値の差は ${\displaystyle \frac{2\sqrt{2r^2-1}}{A^2}}$ である。よって $$M(r)-m(r)={\displaystyle \frac{2r^2\sqrt{2r^2-1}}{(1-r^2{)}^2}}$$ となる。

したがって $$(1-r{)}^2\{M(r)-m(r)\}={\displaystyle \frac{2r^2\sqrt{2r^2-1}}{(1+r{)}^2}}$$ である。$r\to 1-0$とすると $$\underset{r\to 1-0}{\lim }(1-r{)}^2\{M(r)-m(r)\}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

平面 $x=y$ の中で $u=(x+y)\mathrm{/}\sqrt{2}$ を座標に選ぶと、$(u,z)$ は直交座標になる。軌跡を円として表し、内積を $u$ の一次式へ変形することで、最大値と最小値の差を円の水平方向の直径から直接求める。

(1)
$PA=PB$ から $x=y$ である。平面 $x=y$ 上の直交座標として$$u={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$を用いる。このとき$$x=y={\displaystyle \frac{u}{\sqrt{2}}},P{O}^2=u^2+z^2\mathrm{.}$$$PA=rPO$ を2乗すると$$(1-r^2)(u^2+z^2)-\sqrt{2}u+1=0.$$平方完成して$${(u-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}(1-r^2)}})}^2+z^2={\displaystyle \frac{2r^2-1}{2(1-r^2{)}^2}}$$を得る。従って軌跡が存在する条件は $2r^2-1\ge 0$ である。もとの $0<r<1$ と合わせて$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\le r<1$$となる。

(2)
内積を $$I=\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$$ とおく。座標から$$I=P{O}^2-\sqrt{2}u\mathrm{.}$$一方、軌跡の方程式より$$\sqrt{2}u=(1-r^2)P{O}^2+1$$だから$$I=r^{2}P{O}^2-1.$$さらに同じ等式から$$P{O}^2={\displaystyle \frac{\sqrt{2}u-1}{1-r^2}}\mathrm{.}$$従って $I$ の変動幅は $u$ の変動幅に$${\displaystyle \frac{\sqrt{2}{r}^2}{1-r^2}}$$を掛けたものになる。

円の半径は$$\rho ={\displaystyle \frac{\sqrt{2r^2-1}}{\sqrt{2}(1-r^2)}}$$なので、$u$ の最大値と最小値の差は $2\rho$ である。従って$$M(r)-m(r)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{r}^2}{1-r^2}}\cdot 2\rho ={\displaystyle \frac{2r^2\sqrt{2r^2-1}}{(1-r^2{)}^2}}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{r\to 1-0}{\lim }(1-r{)}^2\{M(r)-m(r)\}}& {\displaystyle =\underset{r\to 1-0}{\lim }{\displaystyle \frac{2r^2\sqrt{2r^2-1}}{(1+r{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$