東京大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $A$, $B$ は $yz$ 平面に関して対称であり、$C$ はその平面上にある。したがって正四面体 $ABCD$ の残りの頂点 $D$ も $x=0$ 上にある。$D=(0,u,v)$ とおく。

正四面体の一辺は $AB=2$ である。$AD=2$ より $1+u^2+v^2=4$ であり、$CD=2$ より $(u-\sqrt{3}{)}^2+v^2=4$ である。2式を引くと $(u-\sqrt{3}{)}^2-u^2=1$ すなわち $-2\sqrt{3}u+3=1$ だから $$u={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$$ である。これを $1+u^2+v^2=4$ に代入すると $v^2=3-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$ であり、$z\geqq 0$ 側にあるので $$v={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$$ である。したがって $$D=(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}})$$ である。

次に $E=(0,s,t)$ とおく。$EA=2$ より $s^2+t^2=3$ である。また $ED=2$ より$${(s-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})}^2+{(t-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}})}^2=4$$である。上の $s^2+t^2=3$ と、$D$ について $u^2+v^2=3$ であることを使うと、これは $$s\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}+t\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}=1$$ と同値である。

したがって $E$ は、円 $s^2+t^2=3$ と直線 $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}s+{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}t=1$$ の交点である。その一方は $C=(0,\sqrt{3},0)$ であり、もう一方を求めると $$(s,t)=(-{\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{9}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{9}})$$ である。よって $$E=(0,-{\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{9}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{9}})$$ である。

(2)
正四面体 $ABDE$ の一辺は2である。正四面体の体積は、底面を正三角形 $ABD$ と見ると、底面積が $\sqrt{3}$、高さが $2\sqrt{6}\mathrm{/}3$ なので $${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$ である。 $A$, $B$ は平面 $y=0$ 上にある。また $$y_D={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{9}},y_E=-{\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{9}}$$ である。辺 $DE$ と平面 $y=0$ の交点を $F$ とすると、$E$ から $D$ へ向かう間に $y$ 座標は $-7\sqrt{3}\mathrm{/}9$ から $3\sqrt{3}\mathrm{/}9$ まで変わる。したがって $${\displaystyle \frac{EF}{ED}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$$ である。 $y\leqq 0$ の部分は四面体 $ABEF$ である。四面体 $ABEF$ と四面体 $ABED$ は底面 $ABE$ を共有し、第4の頂点が同じ直線 $ED$ 上の $F$ と $D$ にあるので、体積比は $${\displaystyle \frac{EF}{ED}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$$ に等しい。よって求める体積は $${\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{15}}$$ である。

正四面体 $ABDE$ の第4頂点 $E$ は、点 $C$ を平面 $ABD$ に関して対称移動した点である。平面の法線方向を用いて反射点を求める。(2) は切断点 $F=DE\cap \{y=0\}$ を座標で求め、四面体 $ABEF$ の底面と高さを直接計算する。

(1)
まず正四面体 $ABCD$ の頂点を$$D=(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}})$$と求められる。平面 $ABD$ は $x$ 軸を含み、$yz$ 平面内の方向ベクトルとして$$(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}})$$を含む。従って法線ベクトルの1つは$$\mathit{n}=(0,2\sqrt{2},-1)$$であり、平面の方程式は$$2\sqrt{2}y-z=0$$である。

$C=(0,\sqrt{3},0)$ をこの平面に関して対称移動する。原点を通る平面なので、反射点は$$E=C-2{\displaystyle \frac{\mathit{n}\cdot C}{\mathrm{\mid }\mathit{n}{\mathrm{\mid }}^2}}\mathit{n}\mathrm{.}$$ここで$$\mathit{n}\cdot C=2\sqrt{6},\mathrm{\mid }\mathit{n}{\mathrm{\mid }}^2=9$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =(0,\sqrt{3},0)-{\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{9}}(0,2\sqrt{2},-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(0,-{\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{9}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{9}})\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$F=DE\cap \{y=0\}$ とする。$D,E$ の $y$ 座標はそれぞれ $3\sqrt{3}\mathrm{/}9,-7\sqrt{3}\mathrm{/}9$ なので$${\displaystyle \frac{EF}{ED}}={\displaystyle \frac{7}{10}}\mathrm{.}$$従って$$F=E+{\displaystyle \frac{7}{10}}(D-E)=(0,0,{\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{5}})\mathrm{.}$$$y\leqq 0$ の部分は四面体 $ABEF$ である。三角形 $ABF$ は $AB=2$、$F$ から直線 $AB$ までの距離が $3\sqrt{6}\mathrm{/}5$ だから$$[ABF]={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{5}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{5}}\mathrm{.}$$点 $E$ から平面 $ABF$、すなわち $y=0$ までの距離は $7\sqrt{3}\mathrm{/}9$ である。よって体積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{9}}={\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{15}}\mathrm{.}$$