東京大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
ベクトルを反時計回りに${90}^{\circ }$回転する写像を$J$とする。直角二等辺条件から$$\overrightarrow{RS}=\pm J\overrightarrow{RQ},$$従って$$S=R\pm J(Q-R)=(I\mp J)R\pm JQ\mathrm{.}$$$Q=P_1+\mathit{q}$、$R=P_2+\mathit{r}$とし、$$\mathrm{\mid }\mathit{q}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\mathit{r}\mathrm{\mid }=2$$とする。$P_2=O$なので、2つの向きに対して$S$の中心は$$\pm J{P}_1=(\mp 10,0)$$である。また$$\mathrm{\mid }(I\mp J)\mathit{r}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}\mathrm{\mid }\mathit{r}\mathrm{\mid }=2\sqrt{2}$$であり、$\pm J\mathit{q}$の長さは1である。2つの向きが独立に動くので、その和の長さは$$2\sqrt{2}-1\leqq \rho \leqq 2\sqrt{2}+1$$のすべての値をとる。従って軌跡は2つの環状領域$$(2\sqrt{2}-1{)}^2\leqq (x-10{)}^2+y^2\leqq (2\sqrt{2}+1{)}^2,$$$$(2\sqrt{2}-1{)}^2\leqq (x+10{)}^2+y^2\leqq (2\sqrt{2}+1{)}^2$$の和集合である。

(2)
$P_3$を$$P_3=(10-2t,t)$$とおく。直線$x+2y=10$と中心$(-10,0)$との距離は$4\sqrt{5}$であり、半径$\sqrt{2}$の円が左側の環状領域にただ1点で接することはない。従って中心$(10,0)$の環状領域だけを考えればよい。

三角形がただ1つ定まるためには、$C_3$が外周$$(x-10{)}^2+y^2=(2\sqrt{2}+1{)}^2$$に外接するか、内周$$(x-10{)}^2+y^2=(2\sqrt{2}-1{)}^2$$に内接しなければならない。前者では$$\mathrm{\mid }{P}_3-(10,0)\mathrm{\mid }=(2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+1.$$左辺は$$\sqrt{(-2t{)}^2+t^2}=\sqrt{5}\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$$だから$$t=\pm {\displaystyle \frac{3\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5}}\mathrm{.}$$後者では$$\mathrm{\mid }{P}_3-(10,0)\mathrm{\mid }=(2\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}=\sqrt{2}-1,$$従って$$t=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{5}}\mathrm{.}$$よって求める点は、複号同順で$$(10\mp {\displaystyle \frac{6\sqrt{10}+2\sqrt{5}}{5}},\pm {\displaystyle \frac{3\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5}})$$および$$(10\mp {\displaystyle \frac{2\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{5}},\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{5}})\mathrm{.}$$接点では長さ1と$2\sqrt{2}$のベクトルが一直線に並ぶため$Q,R$も一意に定まり、各候補は実際に条件を満たす。

点を複素数で表し、${90}^{\circ }$ 回転を $i$ 倍として直角二等辺条件を書く。2つの固定長ベクトルの和が作る環を得た後、中心 $P_3$ と環の中心との距離だけで唯一性を判定する。

(1)
点と同じ文字で複素数を表す。$Q=10i+u$、$R=v$ とおけば$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=2.$$直角二等辺条件から$$S-R=\pm i(Q-R)\mathrm{.}$$従って$$S=\{\begin{array}{l}-10+(1-i)v+iu,\\ 10+(1+i)v-iu\mathrm{.}\end{array}$$$(1\mp i)v$ の長さは $2\sqrt{2}$、$\pm iu$ の長さは1であり、偏角は独立に動く。その和の長さは$$2\sqrt{2}-1\leqq \rho \leqq 2\sqrt{2}+1$$のすべてを取る。よって軌跡は$$(2\sqrt{2}-1{)}^2\leqq (x-10{)}^2+y^2\leqq (2\sqrt{2}+1{)}^2$$と$$(2\sqrt{2}-1{)}^2\leqq (x+10{)}^2+y^2\leqq (2\sqrt{2}+1{)}^2$$の和集合である。

(2) $$P_3=(10-2t,t)$$とおく。中心 $(10,0)$ までの距離は$$d=\sqrt{5}\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$一方、直線 $x+2y=10$ と $(-10,0)$ の距離は $4\sqrt{5}$ である。$C_3$ の半径を加減しても左側の環へ届かないため、右側だけを考えればよい。

環の内半径と外半径を$$a=2\sqrt{2}-1,b=2\sqrt{2}+1$$とする。円 $C_3$ と環の共通点がただ1つで、その点で2つの固定長ベクトルの向きも一意になるのは、$C_3$ が外側から外周に接するか、穴の内側から内周に接するときである。従って$$d=b+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+1$$または$$d=a-\sqrt{2}=\sqrt{2}-1.$$よって$$t=\pm {\displaystyle \frac{3\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5}}$$または$$t=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{5}}\mathrm{.}$$$P_3=(10-2t,t)$ に戻せば、複号同順で$$(10\mp {\displaystyle \frac{6\sqrt{10}+2\sqrt{5}}{5}},\pm {\displaystyle \frac{3\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5}})$$および$$(10\mp {\displaystyle \frac{2\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{5}},\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{5}})$$を得る。接点では長さ $2\sqrt{2}$ と1のベクトルが一直線上にあるため、対応する $Q,R$ も一意である。