東京大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
与式を展開し、両辺に共通する項を消すと$$r^2{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(x+\theta )dx=2r{\int }_0^{2\pi }\sin x\sin (x+\theta )dx\mathrm{.}$$1周期の積分より$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(x+\theta )dx=\pi ,{\int }_0^{2\pi }\sin x\sin (x+\theta )dx=\pi \cos \theta \mathrm{.}$$$r>0$だから$$r=2\cos \theta \mathrm{.}$$(2)
加法定理から$$f(x)=2\cos \theta \sin (x+\theta )=\sin x+\sin (x+2\theta )\mathrm{.}$$$\varphi =2\theta$とおけば$0\leqq \varphi \leqq \pi \mathrm{/}2$である。固定した$x$について$\sin (x+\varphi )$の範囲を調べると$$\{\begin{array}{ll}2\sin x\leqq y\leqq 1+\sin x& (0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}),\\ \sin x+\cos x\leqq y\leqq 1+\sin x& ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}),\\ \sin x+\cos x\leqq y\leqq 2\sin x& ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi )\mathrm{.}\end{array}$$これらの不等式で表される領域が$D$である。境界は$$y=2\sin x,y=1+\sin x,y=\sin x+\cos x$$の該当部分からなる。

(3)
従って面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=}& {\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}(1-\sin x)dx+{\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}(1-\cos x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{\pi \mathrm{/}2}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-1)+({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})+2}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$

(1) の条件から $r=2\cos \theta$ を得る。(2) では $(u,v)=(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$ を4分の1円上の点と見て、$y=\sin x+\sin xu+\cos xv$ という線形関数の最大・最小を幾何的に求める。

(1)
両辺を展開して共通項を消すと$$r^2{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(x+\theta )dx=2r{\int }_0^{2\pi }\sin x\sin (x+\theta )dx\mathrm{.}$$左の積分は $\pi$、右の積分は $\pi \cos \theta$ なので、$r>0$ より$$r=2\cos \theta \mathrm{.}$$(2)
$\varphi =2\theta$ とおくと $0\leqq \varphi \leqq \pi \mathrm{/}2$ であり、$$y=\sin x+\sin (x+\varphi )\mathrm{.}$$さらに $u=\cos \varphi ,v=\sin \varphi$ とおけば、$(u,v)$ は第1象限の単位円弧上を動き、$$y=\sin x+\sin xu+\cos xv\mathrm{.}$$固定した $x$ に対し、後半はベクトル $(\sin x,\cos x)$ と $(u,v)$ の内積である。内積の最大値は向きが円弧内にあるとき1、そうでなければ端点で取る。最小値は円弧のどちらかの端点で取る。これを $x$ の範囲ごとに整理すると$$\{\begin{array}{ll}2\sin x\leqq y\leqq 1+\sin x& (0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}4),\\ \sin x+\cos x\leqq y\leqq 1+\sin x& (\pi \mathrm{/}4\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2),\\ \sin x+\cos x\leqq y\leqq 2\sin x& (\pi \mathrm{/}2\leqq x\leqq \pi )\mathrm{.}\end{array}$$これが領域 $D$ である。

(3)
上下の境界の差を積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=}& {\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}(1-\sin x)dx+{\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}(1-\cos x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{\pi \mathrm{/}2}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$