東京大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$t=a-1\mathrm{/}a$ とおく。すると $f(x)=(3x^2-4)(x-t)$ である。これを展開して微分すると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=9x^2-6tx-4$ となる。 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ の2つの解を $\alpha <\beta$ とする。解の公式より $$\alpha ={\displaystyle \frac{t-\sqrt{t^2+4}}{3}},\beta ={\displaystyle \frac{t+\sqrt{t^2+4}}{3}}$$ である。よって $$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{2\sqrt{t^2+4}}{3}}$$ である。

導関数 $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は上に開く2次式であり、$\alpha <x<\beta$ では負である。したがって $x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小をとる。極大値と極小値の差は$$f(\alpha )-f(\beta )=-{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx\mathrm{.}$$である。また $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=9(x-\alpha )(x-\beta )$$ だから、$h=\beta -\alpha$ とおき、$x=\alpha +u$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle -{\int }_{\alpha }^{\beta }9(x-\alpha )(x-\beta )dx}& {\displaystyle =-9{\int }_0^{h}u(u-h)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9{\int }_0^h(hu-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9({\displaystyle \frac{h^3}{2}}-{\displaystyle \frac{h^3}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}{h}^3}\end{array}$$である。したがって$$f(\alpha )-f(\beta )={\displaystyle \frac{3}{2}}{\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{t^2+4}}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{4}{9}}(t^2+4{)}^{3\mathrm{/}2}$$となる。

これは $t^2$ が小さいほど小さく、最小になるのは $t=0$ のときである。すなわち $a-{\displaystyle \frac{1}{a}}=0$ であり、$a\mathrm{\ne }0$ なので両辺に $a$ を掛けて $a^2-1=0$ を得る。よって $a=1,-1$ である。

導関数の2根を使わず、$t=a-1\mathrm{/}a$ と置いた後に $x=u+t\mathrm{/}3$ と平行移動する。2次項が消えた3次関数では停留点が原点対称に現れるため、2つの極値を直接代入して差を求める。

$t=a-1\mathrm{/}a$ とおくと$$f(x)=3x^3-3t{x}^2-4x+4t$$である。ここで$$x=u+{\displaystyle \frac{t}{3}}$$と平行移動する。展開して $u$ によらない項を $C$ とまとめると$$f(u+{\displaystyle \frac{t}{3}})=3u^3-(t^2+4)u+C$$となる。

$u$ で微分すれば$$9u^2-(t^2+4)=0$$だから、停留点は$$u=\pm s,s={\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+4}}{3}}$$である。3次の係数が正なので $u=-s$ で極大、$u=s$ で極小となる。

$t^2+4=9s^2$ を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-s+t\mathrm{/}3)}& {\displaystyle =-3s^3+9s^3+C=6s^3+C,}\\ {\displaystyle f(s+t\mathrm{/}3)}& {\displaystyle =3s^3-9s^3+C=-6s^3+C\mathrm{.}}\end{array}$$従って極大値と極小値の差は$$12s^3={\displaystyle \frac{4}{9}}(t^2+4{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$これは $t^2$ が最小のとき、すなわち $t=0$ のときに最小となる。$$a-{\displaystyle \frac{1}{a}}=0$$より $a^2=1$ であるから、求める値は$$a=1,-1$$である。