東京大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $x$ 軸に接し、接点が $(x,0)$、半径が $r$ である円の中心は $(x,r)$ である。2つの円がともに $x$ 軸に接し、互いに外接するとき、接点の $x$ 座標を $x_1,x_2$、半径を $r_1,r_2$ とすると $$(x_1-x_2{)}^2+(r_1-r_2{)}^2=(r_1+r_2{)}^2$$ である。整理して $(x_1-x_2{)}^2=4r_1{r}_2$ すなわち $$\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }=2\sqrt{r_1{r}_2}$$ を得る。 $C_0$, $C_1$ については $$x_0=0,r_0={\displaystyle \frac{1}{2}},x_1=1,r_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であるから $$(p_0,q_0)=(0,1),(p_1,q_1)=(1,1)$$ と表せる。さらに $C_2$ は2つの円の間で $x$ 軸に接する円であり、計算すると $$x_2={\displaystyle \frac{1}{2}},r_2={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ なので $(p_2,q_2)=(1,2)$ である。

いま隣り合う2円が $$x_i={\displaystyle \frac{p_i}{q_i}},r_i={\displaystyle \frac{1}{2q_i^2}}$$ と表され、かつ $$\mathrm{\mid }{p}_i{q}_{i-1}-p_{i-1}{q}_i\mathrm{\mid }=1$$ を満たすとする。この2円に接する新しい円について $$p=p_{i-1}+p_i,q=q_{i-1}+q_i$$ とおくと$$\mid {\displaystyle \frac{p}{q}}-{\displaystyle \frac{p_i}{q_i}}\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{p}_{i-1}{q}_i-p_i{q}_{i-1}\mathrm{\mid }}{q{q}_i}}={\displaystyle \frac{1}{q{q}_i}}$$である。一方、半径を $r=1\mathrm{/}(2q^2)$ とすれば $$2\sqrt{r{r}_i}=2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2q^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2q_i^2}}}={\displaystyle \frac{1}{q{q}_i}}$$ であり、接点間距離の条件を満たす。同様に $C_{i-1}$ とも接する。したがって新しい円は $$(p,q)=(p_{i-1}+p_i,q_{i-1}+q_i)$$ で与えられる。

よって $q_{n+1}=q_n+q_{n-1}$ である。$q_0=q_1=1$ から、数学的帰納法によりすべての $q_n$ は整数である。

(2)
同じ理由で $p_{n+1}=p_n+p_{n-1}$ であり、$p_0=0$, $p_1=1$ だから、すべての $p_n$ は整数である。

また隣り合う円が接する条件から $$\mathrm{\mid }{p}_n{q}_{n-1}-p_{n-1}{q}_n\mathrm{\mid }=1$$ が成り立つ。もし $p_n$ と $q_n$ が1より大きい公約数をもてば、左辺 $p_n{q}_{n-1}-p_{n-1}{q}_n$ もその公約数で割り切れる。しかし左辺の絶対値は1なので不可能である。したがって $p_n$ と $q_n$ は互いに素である。

(3) $p_n$ と $q_n$ は同じ漸化式を満たし、初期値を比べると $$p_n=q_{n-1}(n\geqq 1)$$ である。したがって $$x_n={\displaystyle \frac{p_n}{q_n}}={\displaystyle \frac{q_{n-1}}{q_n}}$$ であり、$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{q_n}{q_{n+1}}}={\displaystyle \frac{q_n}{q_n+q_{n-1}}}={\displaystyle \frac{1}{1+x_n}}$$ となる。 $\alpha$ は $$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{1+\alpha }}$$ を満たす正の数である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{x}_{n+1}-\alpha \mathrm{\mid }}& {\displaystyle =\mid {\displaystyle \frac{1}{1+x_n}}-{\displaystyle \frac{1}{1+\alpha }}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{x}_n-\alpha \mathrm{\mid }}{(1+x_n)(1+\alpha )}}}\end{array}$$である。ここで $x_n\geqq 0$ であり、また $\alpha$ は正で ${\alpha }^2+\alpha =1$ を満たすから $\alpha >1\mathrm{/}2$ である。したがって $$(1+x_n)(1+\alpha )>{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であり、$$\mathrm{\mid }{x}_{n+1}-\alpha \mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{\mid }{x}_n-\alpha \mathrm{\mid }$$ が成り立つ。

この不等式をくり返すと、$\mathrm{\mid }{x}_n-\alpha \mathrm{\mid }$ は0に近づく。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\alpha$$ である。${\alpha }^2+\alpha -1=0$ を解くと、正の解は $$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$ である。よって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$ である。

フィボナッチ数 $F_0=0,F_1=1,F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ を用い、接点と半径を $x_n=F_n\mathrm{/}{F}_{n+1}$、$r_n=1\mathrm{/}(2F_{n+1}^2)$ と予想して帰納法で確かめる。隣接項の差が1になる恒等式から接触・互いに素を同時に処理する。

(1)
$F_0=0,F_1=1$ とし、$$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$$でフィボナッチ数を定める。次を示す。$$x_n={\displaystyle \frac{F_n}{F_{n+1}}},r_n={\displaystyle \frac{1}{2F_{n+1}^2}}\mathrm{.}$$$n=0,1$ では問題の2円から明らかである。

$x$ 軸に接する半径 $r,s$ の2円が外接するための条件は、接点の横座標の差が $2\sqrt{rs}$ となることである。またフィボナッチ数について$$\mid F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2\mid =1$$が帰納法で成り立つ。$${\displaystyle \frac{F_{n-1}}{F_n}}\text{と}{\displaystyle \frac{F_n}{F_{n+1}}}$$の間にある分数は$${\displaystyle \frac{F_{n-1}+F_n}{F_n+F_{n+1}}}={\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}}\mathrm{.}$$この分数と両端との差はそれぞれ$${\displaystyle \frac{1}{F_n{F}_{n+2}}},{\displaystyle \frac{1}{F_{n+1}{F}_{n+2}}}$$であり、半径を $1\mathrm{/}(2F_{n+2}^2)$ とすれば、ちょうど $2\sqrt{rs}$ に一致する。従って帰納法により上の表示が成り立つ。

よって$$q_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2r_n}}}=F_{n+1}$$は整数である。

(2) $$p_n=q_n{x}_n=F_n$$も整数である。ユークリッドの互除法から$$(F_n,F_{n+1})=(F_{n-1},F_n)=\cdots =(F_0,F_1)=1$$なので、$p_n,q_n$ は互いに素である。

(3) $$x_{n+1}={\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}}={\displaystyle \frac{1}{1+x_n}}\mathrm{.}$$$\alpha =1\mathrm{/}(1+\alpha )$ を使うと$$\mathrm{\mid }{x}_{n+1}-\alpha \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{x}_n-\alpha \mathrm{\mid }}{(1+x_n)(1+\alpha )}}\mathrm{.}$$$x_n\geqq 0$ かつ $\alpha >1\mathrm{/}2$ なので分母は $3\mathrm{/}2$ より大きく、$$\mathrm{\mid }{x}_{n+1}-\alpha \mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{\mid }{x}_n-\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$従って $x_n\to \alpha$ である。正の解を選べば$$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\mathrm{.}$$