東京大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $b\leqq 1\mathrm{/}2$ では $2b=b$ より $b=0$。$b>1\mathrm{/}2$ では $-2b+2=b$ より $b=2\mathrm{/}3$。したがって$$b=0,{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$(2) 固定点集合を $S=\{0,2\mathrm{/}3\}$ とする。$f(x)=y$ の解は、$0<y<1$ なら$$x={\displaystyle \frac{y}{2}},1-{\displaystyle \frac{y}{2}}$$である。逆像を3回取ると$$\{x\in [0,1]:f^3(x)\in S\}=\{{\displaystyle \frac{k}{12}}:k=0,1,\dots ,12\}\mathrm{.}$$よって$$a_1={\displaystyle \frac{k}{12}}(k=0,1,\dots ,12)\mathrm{.}$$(3) 逆像を一回取るごとに、隣り合う点の間隔は半分になる。実際、$r\geqq 1$ に対して帰納的に$$\{x:f^r(x)\in S\}=\{{\displaystyle \frac{k}{3\cdot 2^{r-1}}}:k=0,1,\dots ,3\cdot 2^{r-1}\}$$となる。したがって求める初期値は$$a_1={\displaystyle \frac{k}{3\cdot 2^m}}(m=0,1,2,\dots ,0\leqq k\leqq 3\cdot 2^m)$$と表される有理数であり、逆にこれらはすべて条件を満たす。

(4) (3)を満たさず、しかもすべての項が $3\mathrm{/}4$ 未満だと仮定する。$a_n\in (0,1\mathrm{/}2]$ の間は $a_{n+1}=2a_n$ だから、やがて $a_N\in (1\mathrm{/}2,3\mathrm{/}4)$ となる。以後も $3\mathrm{/}4$ 未満という仮定の下では右側の式が続き、$$\mid a_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid =2\mid a_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid (n\geqq N)$$である。$a_N=2\mathrm{/}3$ なら(3)に反し、そうでなければ左辺の距離は2倍を繰り返して、区間 $(1\mathrm{/}2,3\mathrm{/}4)$ 内にとどまれない。いずれも矛盾する。よってある $n$ で $a_n\geqq 3\mathrm{/}4$ となる。

(5) (3)の形なら、ある項以後は $0$ または $2\mathrm{/}3$ で一定となるから収束する。

逆に $a_n\to L$ とする。$f$ は $[0,1]$ で連続なので $L=f(L)$、従って $L=0$ または $2\mathrm{/}3$ である。$L=0$ のとき、十分先では左枝にあり、零でない限り次項は2倍となるため0へは収束できない。$L=2\mathrm{/}3$ のときも、十分先では右枝にあり、$2\mathrm{/}3$ からの距離は零でない限り2倍となるため収束できない。従ってどちらの場合も、ある項が固定点そのものに一致する必要がある。

以上より必要十分条件は$$a_1={\displaystyle \frac{k}{3\cdot 2^m}}(m=0,1,2,\dots ,0\leqq k\leqq 3\cdot 2^m)$$である。

テント写像と2つの固定点

固定点へ到達する点の集合を逆像の木として作る。各段で間隔が半分になることと、固定点からの距離が局所的に2倍になることを使う。

(1)
2本の一次式をそれぞれ解けば、固定点は$$0,{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$(2)
$0<y<1$ に対する $f(x)=y$ の解は$$x={\displaystyle \frac{y}{2}},x=1-{\displaystyle \frac{y}{2}}\mathrm{.}$$固定点集合の逆像を3回取ると間隔 $1\mathrm{/}12$ の格子になる。従って$$a_1={\displaystyle \frac{k}{12}}(k=0,1,\dots ,12)\mathrm{.}$$(3)
固定点集合を $S$ とし、$m+1$ 回後に $S$ へ入る点の集合を $E_m$ とする。逆像を繰り返すと$$E_m=\{{\displaystyle \frac{k}{3\cdot 2^m}}:0\leqq k\leqq 3\cdot 2^m\}\mathrm{.}$$従って、ある項が固定点となるための必要十分条件は$$a_1\in \bigcup _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_m\mathrm{.}$$(4)
上の集合に属さず、全項が $3\mathrm{/}4$ 未満と仮定する。0でない点は左枝で2倍され、有限回後に $(1\mathrm{/}2,3\mathrm{/}4)$ へ入る。その後、仮定の下では右枝にとどまり$$\mid a_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid =2\mid a_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid \mathrm{.}$$距離が0でなければ2倍を繰り返して同じ区間にとどまれず、0なら固定点へ到達している。いずれも仮定に反する。

(5)
収束するなら連続性から極限は $0$ または $2\mathrm{/}3$ である。しかし両固定点の近くでは、点そのものに一致しない限り距離が2倍になる。よって収束には有限回で固定点へ達することが必要で、十分でもある。従って条件は小問(3)と同じである。