東京大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく。ただし $a$ は正の整数である。十分大きい $k$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b>0$ が $[k,k+1]$ で成り立つので、以下そのような $k$ を考える。$$M=f(k),N=f(k+1),D=N-M$$とおく。係数と $k$ は整数だから $M,N,D$ は整数であり$$D=2ak+a+b\mathrm{.}$$$y=f(x)$ と変数を移すと、$y$ は $[M,N]$ を動き、この区間は長さ1の区間を $D$ 個含む。各1周期の中で $P(x)\in I$ に対応する $y$ の集合の長さは$$\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{L}{2\pi }}$$である。弧が角度0の位置をまたぐ場合も、二つの区間に分かれるだけで長さの和は $\mathrm{\ell }$ である。

逆関数を $x=x(y)$ とすると$${\displaystyle \frac{dx}{dy}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(x(y))}}\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }}$ は増加するから、$k\leqq x(y)\leqq k+1$ で$${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(k+1)}}\leqq {\displaystyle \frac{dx}{dy}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(k)}}\mathrm{.}$$弧に対応する $y$ の全長は $D\mathrm{\ell }$ なので、積分して$${\displaystyle \frac{D\mathrm{\ell }}{f^{\mathrm{\prime }}(k+1)}}\leqq T_k\leqq {\displaystyle \frac{D\mathrm{\ell }}{f^{\mathrm{\prime }}(k)}}\mathrm{.}$$ここで$$f^{\mathrm{\prime }}(k)=2ak+b,f^{\mathrm{\prime }}(k+1)=2ak+2a+b,D=2ak+a+b\mathrm{.}$$従って$${\displaystyle \frac{D}{f^{\mathrm{\prime }}(k+1)}}\to 1,{\displaystyle \frac{D}{f^{\mathrm{\prime }}(k)}}\to 1(k\to \mathrm{\infty })\mathrm{.}$$はさみうちにより$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_k=\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{L}{2\pi }}\mathrm{.}$$

変数 $y=f(x)$ で弧の条件を周期1の指示関数に直す。
逆関数の微分は1周期内でほぼ一定なので、
各周期の平均からの誤差を振幅で押さえ、全周期について望遠的に足す。

弧 $I$ に対応する $y$ の小数部分の集合を $J$ とし、$$\mathrm{\ell }=\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{L}{2\pi }}$$とおく。十分大きい $k$ では $f$ は $[k,k+1]$ で増加する。$$M=f(k),N=f(k+1)$$は整数である。

逆関数を $x=x(y)$ とし$$g(y)={\displaystyle \frac{dx}{dy}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(x(y))}}$$とおく。$f^{\mathrm{\prime }}$ は増加するので $g$ は減少する。
また$${\int }_M^{N}g(y)dy=1.$$$\chi (y)$ を、小数部分が $J$ に入るとき1、その他で0となる
周期1の関数とする。各整数区間 $[j,j+1]$ で$${\int }_j^{j+1}\{\chi (y)-\mathrm{\ell }\}dy=0.$$したがって、この区間における積分$${\int }_j^{j+1}(\chi -\mathrm{\ell })gdy$$の絶対値は $g(j)-g(j+1)$ 以下である。
全区間を足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{T}_k-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =\mid {\int }_M^N\{\chi (y)-\mathrm{\ell }\}g(y)dy\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq \sum _{j=M}^{N-1}\{g(j)-g(j+1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =g(M)-g(N)\mathrm{.}}\end{array}$$$$0\leqq g(M)-g(N)\leqq {\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(k)}}-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(k+1)}}⟶0.$$よって$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_k=\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{L}{2\pi }}\mathrm{.}$$