東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

点 $C$ は常に $(0,3)$ である。

まず $0<t\leqq 3$ のとき、点 $B$ は $y$ 軸上を動くので $B=(0,t)$ である。このとき $BC$ は $y$ 軸上の線分で、その長さは $3-t$ である。また $A=(t^2,0)$ から $y$ 軸までの距離は $t^2$ である。したがって $$S(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2(3-t)(0<t\leqq 3)$$ である。

次に $t\geqq 3$ のとき、点 $B$ は $C$ から右向きに速さ1で動くので $B=(t-3,3)$ である。このとき $BC$ は水平な線分で、長さは $t-3$ である。また $A$ から直線 $y=3$ までの距離は3である。よって $$S(t)={\displaystyle \frac{3}{2}}(t-3)(t\geqq 3)$$ である。

以上より$$S(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2(3-t)& (0<t\leqq 3),\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}(t-3)& (t\geqq 3)\end{array}$$である。

前半について微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{2t(3-t)-t^2\}={\displaystyle \frac{3}{2}}t(2-t)$$ である。したがって $0<t<2$ で増加、$2<t<3$ で減少し、$S(2)=2,S(3)=0$ である。後半は $t=3$ から始まる傾き $3\mathrm{/}2$ の直線である。

したがって $S(t)$ のグラフは、$t\to 0+$ で0に近づき、$(2,2)$ で極大となり、$(3,0)$ に下がった後、傾き $3\mathrm{/}2$ の直線として増加する。

(2) $M(u)$ は $0<t\leqq u$ における $S(t)$ の最大値である。(1)より、$0<t\leqq 3$ での最大値は $t=2$ における $2$ である。 $0<u\leqq 2$ では、$S(t)$ は $0<t\leqq u$ で増加しているので $$M(u)=S(u)={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2(3-u)$$ である。 $2\leqq u\leqq 3$ では、すでに $t=2$ で最大値2に達しているので $M(u)=2$ である。 $u\geqq 3$ では、後半の値 $S(u)={\displaystyle \frac{3}{2}}(u-3)$ が2を超えるかどうかを見ればよい。方程式 ${\displaystyle \frac{3}{2}}(u-3)=2$ を解くと $$u={\displaystyle \frac{13}{3}}$$ である。よって $3\leqq u\leqq 13\mathrm{/}3$ では最大値はまだ2であり、$u\geqq 13\mathrm{/}3$ では時刻 $u$ の値が過去最大になる。

したがって$${\displaystyle M(u)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2(3-u)& (0<u\leqq 2),\\ 2& (2\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{13}{3}}),\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}(u-3)& (u\geqq {\displaystyle \frac{13}{3}})\end{array}}$$である。グラフは、$0<u\leqq 2$ で $(2,2)$ まで増加し、$2\leqq u\leqq 13\mathrm{/}3$ で高さ2の水平線となり、その後は傾き $3\mathrm{/}2$ の直線となる。

点 $A,B,C$ の座標を行列式へ直接代入し、
符号付き面積の絶対値として $S(t)$ を求める。
$M(u)$ は過去に現れた $S(t)$ の上包絡線として決定する。

(1)

三角形の符号付き面積の2倍は$$\det \left(\begin{array}{cc}{x}_B-x_A& y_B-y_A\\ x_C-x_A& y_C-y_A\end{array}\right)$$である。$0<t\leqq 3$ では$$A=(t^2,0),B=(0,t),C=(0,3)$$だから$$2S(t)=\mid \det \left(\begin{array}{cc}-t^2& t\\ -t^2& 3\end{array}\right)\mid =t^2(3-t)\mathrm{.}$$$t\geqq 3$ では $B=(t-3,3)$ なので$$2S(t)=\mid \det \left(\begin{array}{cc}t-3-t^2& 3\\ -t^2& 3\end{array}\right)\mid =3(t-3)\mathrm{.}$$したがって$$S(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2(3-t)& (0<t\leqq 3),\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}(t-3)& (t\geqq 3)\mathrm{.}\end{array}$$前半は $t=2$ で最大値2をとり、$t=3$ で0へ戻る。
後半は $(3,0)$ から傾き $3\mathrm{/}2$ で増加する。

(2)

$M(u)$ は、時刻 $u$ までの $S$ の最大値、すなわち
グラフを左から見た上包絡線である。$u\leqq 2$ では現在値が最大、
$2\leqq u$ ではいったん最大値2を保つ。
後半の直線が2へ戻る時刻は$${\displaystyle \frac{3}{2}}(u-3)=2⟺u={\displaystyle \frac{13}{3}}\mathrm{.}$$よって$$M(u)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2(3-u)& (0<u\leqq 2),\\ 2& (2\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{13}{3}}),\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}(u-3)& (u\geqq {\displaystyle \frac{13}{3}})\mathrm{.}\end{array}$$