Evolton
方針
まず上下の放物線が交わる条件から、領域が存在する の範囲を と定める。固定した に対して は とともに増加するので、最大値は上側の放物線 、最小値は下側の放物線 上で調べればよい。どちらも閉区間上の2次関数の最大最小に帰着し、頂点が区間内に入るかどうかで , を境に場合分けする。
解答
領域 が存在するためには、同じ に対して下側の値が上側の値以下でなければならない。したがって である。これを整理すると すなわち である。 より、領域 に現れる の範囲は である。 を固定すると、 は が大きいほど大きい。したがって最大値は上側の放物線 上で調べればよい。このとき である。この2次関数は上に凸で、軸は である。軸が区間 に入る条件を調べると、左端については が常に成り立ち、右端については すなわち である。
したがって、 のときは区間内で軸が右にはみ出すので、最大値は右端 で生じる。このとき である。 のときは軸で最大となり、平方完成よりだから、最大値は である。
次に最小値を求める。 は について増加するので、最小値は下側の放物線 上で調べればよい。このとき である。軸 が区間 に入る条件は であり、右側の不等式は常に成り立つので、条件は である。 のとき、軸 は区間の左外にあるから、最小値は左端 で生じる。このとき である。 のときは軸で最小となり、最小値は である。
以上より、最大値は最小値はである。
条件・検算
境界値 と では、頂点と端点から得る値がそれぞれ一致する。したがって場合分けに隙間や重複はない。
別解
解法2（直線の平行移動）
方針
直線 を平行移動し、領域に最後または最初に接する位置を調べる。最大値は上側放物線への接線または右端、最小値は下側放物線への接線または左端で決まり、接点が に入る条件が場合分けの境界になる。
解答
直線 、すなわち を平行移動させると、 が大きいほど直線は上へ動く。最大値はこの直線が領域 に最後に触れるときの であり、上側放物線に接するか、右端の交点 を通るかのどちらかである。接点の 座標は であり、これが に入る条件が である。最小値も同様に、同じ直線を下へ動かして下側放物線 に接するか、左端の交点 を通るかを見ればよく、接点 が区間に入る条件が である。これにより上と同じ場合分けと値が得られる。
総評
難度6、計算量5。目安時間は22〜28分。線形関数 の最大最小だが、固定した では について単調であるため、上下どちらの境界を見ればよいかが最初の判断になる。最大値と最小値で見る放物線が違い、さらに場合分けの境目も と で異なる。よくある誤りは、領域の 範囲 を出さずに頂点だけで答えること、また端点で上下の放物線が交わるため でも上側でも同じ点になることを見落とすことである。直線 の平行移動として見る別解は、どの境界で極値が出るかを図形的に確認するのに有効である。