東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

端点条件から $$a-b+c=-1,a+b+c=1$$ である。よって $b=1,c=-a$ であり、$$f(x)=a{x}^2+x-a=x+a(x^2-1)$$ と書ける。

条件(B)は $$x+a(x^2-1)\leqq 3x^2-1(-1\leqq x\leqq 1)$$ である。すなわち $$q(x)=(3-a)x^2-x+a-1\geqq 0(-1\leqq x\leqq 1)$$ である。端点では $q(-1)=3,q(1)=1$ となり、これは常に正である。 $a<3$ のとき、$q(x)$ は下に凸で、その軸は $$x={\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}}$$ である。この軸が区間 $[-1,1]$ に入るのは $a\leqq 5\mathrm{/}2$ のときである。この場合、区間上の最小値は頂点でとるので $$q\left({\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}}\right)=a-1-{\displaystyle \frac{1}{4(3-a)}}$$ が0以上であればよい。これを整理すると $4(a-1)(3-a)-1\geqq 0$ すなわち $4a^2-16a+13\leqq 0$ である。したがって $${(a-2)}^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$$ となる。$a\leqq 5\mathrm{/}2$ も合わせると $$2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

一方、$5\mathrm{/}2<a<3$ のときは軸が $x=1$ より右にあるので、最小値は右端でとり $q(1)=1>0$ である。また $a=3$ のときは $q(x)=-x+2$ であり、$a>3$ のときは区間での最小値が端点で確認できるので、いずれも条件(B)を満たす。

よって条件(B)は $a\geqq 2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ と同値である。

次に $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+2ax$ だから$$I={\int }_{-1}^1(1+2ax{)}^{2}dx={\int }_{-1}^1(1+4ax+4a^2{x}^2)dx$$である。奇関数である $4ax$ の積分は0なので $$I=2+4a^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=2+{\displaystyle \frac{8}{3}}{a}^2$$ である。上の範囲では $a>0$ であるから、$I$ の最小値は $$a=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ で生じる。その値は $$2+{\displaystyle \frac{8}{3}}{(2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}^2={\displaystyle \frac{44-16\sqrt{3}}{3}}$$ である。

理科の条件には $a$ の上限がないので、$a$ を大きくすれば $I$ もいくらでも大きくなる。したがって求める範囲は $$I\geqq {\displaystyle \frac{44-16\sqrt{3}}{3}}$$ である。

条件(B)を差 $q(x)=3x^2-1-f(x)$ の非負性へ変換し、平方完成で
係数 $a$ の必要十分条件を求める。文科版と異なり微分係数の上限制約がないため、
最後に $I$ が上に有界でないことを明示する。

端点条件から$$f(x)=x+a(x^2-1)$$であり、条件(B)は$$q(x)=(3-a)x^2-x+a-1\geqq 0(-1\leqq x\leqq 1)$$と同値である。

$a<3$ のとき$$q(x)=(3-a){(x-{\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}})}^2+a-1-{\displaystyle \frac{1}{4(3-a)}}\mathrm{.}$$軸が区間に入る $a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$ では、頂点値が非負である条件は$$4(a-1)(3-a)-1\geqq 0⟺{(a-2)}^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$したがってこの場合は$$2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{.}$$${\displaystyle \frac{5}{2}}<a<3$ なら最小値は $q(1)=1$ である。
$a\geqq 3$ なら最小値は端点で生じ、$$q(-1)=3,q(1)=1$$だから条件を満たす。以上より$$a\geqq 2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$さらに$$I={\int }_{-1}^1(1+2ax{)}^{2}dx=2+{\displaystyle \frac{8}{3}}{a}^2\mathrm{.}$$許される $a$ は正であるから、最小値は$$a=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$で生じる。一方、$a$ には上限がなく、$a\to \mathrm{\infty }$ とすれば
$I\to \mathrm{\infty }$ である。よって$$I\geqq {\displaystyle \frac{44-16\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}$$