東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

条件 $f(-1)=-1$, $f(1)=1$ より $$a-b+c=-1,a+b+c=1$$ である。2式を引いて $2b=2$ だから $b=1$ であり、これを $a+b+c=1$ に代入して $c=-a$ を得る。したがって $$f(x)=a{x}^2+x-a=x+a(x^2-1)$$ である。

条件(B)は $$x+a(x^2-1)\leqq 3x^2-1(-1\leqq x\leqq 1)$$ である。左辺を右辺に移すと $$q(x)=(3-a)x^2-x+a-1\geqq 0(-1\leqq x\leqq 1)$$ と同値である。ここで $q(-1)=3,q(1)=1$ であり、端点では $a$ によらず正である。

まず $a<3$ とする。このとき $q(x)$ は下に凸で、軸は $$x={\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}}$$ である。軸が区間 $[-1,1]$ に入るのは ${\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}}\leqq 1$ すなわち $a\leqq 5\mathrm{/}2$ のときである。この場合、最小値は頂点でとるので $$q\left({\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}}\right)=a-1-{\displaystyle \frac{1}{4(3-a)}}$$ が0以上であればよい。$a<3$ だから両辺に $4(3-a)>0$ を掛けて $4(a-1)(3-a)-1\geqq 0$ すなわち $4a^2-16a+13\leqq 0$ である。よって $${(a-2)}^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$$ となり、この場合の条件は $$2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

次に $5\mathrm{/}2<a<3$ のとき、軸は $x=1$ より右にある。したがって区間 $[-1,1]$ での最小値は右端でとり、$q(1)=1>0$ であるから条件(B)を満たす。

さらに $a=3$ のときは $q(x)=-x+2$ であり、区間上で正である。$a>3$ のときは下向きに開く2次式なので、区間での最小値は端点のどちらかでとる。端点値は $q(-1)=3$, $q(1)=1$ だから、この場合も条件(B)を満たす。

以上より、条件(B)は $a\geqq 2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ と同値である。

次に条件(A)の残り $f^{\mathrm{\prime }}(1)\leqq 6$ を使う。 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+2ax$ だから $f^{\mathrm{\prime }}(1)=1+2a\leqq 6$ より $a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。したがって、許される $a$ の範囲は $$2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

最後に$$I={\int }_{-1}^1(1+2ax{)}^{2}dx$$を計算する。展開して $(1+2ax{)}^2=1+4ax+4a^2{x}^2$ であり、$[-1,1]$ では $4ax$ の積分は0になる。よって$$I={\int }_{-1}^{1}1dx+4a^2{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=2+4a^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=2+{\displaystyle \frac{8}{3}}{a}^2$$である。許される範囲では $a>0$ なので、$I$ は $a$ とともに増加する。したがって$$I_{\min }=2+{\displaystyle \frac{8}{3}}{(2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}^2={\displaystyle \frac{44-16\sqrt{3}}{3}}$$であり、$$I_{\max }=2+{\displaystyle \frac{8}{3}}{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{56}{3}}$$ である。よって求める範囲は $${\displaystyle \frac{44-16\sqrt{3}}{3}}\leqq I\leqq {\displaystyle \frac{56}{3}}$$ である。

端点条件で $f(x)=x+a(x^2-1)$ とした後、条件(B)の差を平方完成する。
軸が区間内にある場合と外にある場合を、頂点の位置から直接整理する。
最後に $f^{\mathrm{\prime }}(1)\leqq 6$ と $I$ の単調性を重ねる。

端点条件から $b=1,c=-a$ であり、$$f(x)=x+a(x^2-1)$$となる。条件(B)は$$q(x)=(3-a)x^2-x+a-1\geqq 0(-1\leqq x\leqq 1)$$と同値である。

$a<3$ のとき、平方完成すると$$q(x)=(3-a){(x-{\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}})}^2+a-1-{\displaystyle \frac{1}{4(3-a)}}$$である。軸が区間内にあるのは $a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$ のときであり、
この場合の必要十分条件は$$a-1-{\displaystyle \frac{1}{4(3-a)}}\geqq 0.$$整理して$$4a^2-16a+13\leqq 0⟺2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq a\leqq 2+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$いま $a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$ なので、得られる範囲は$$2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$$である。

${\displaystyle \frac{5}{2}}<a<3$ では軸が $1$ より右にあり、区間上の最小値は
$q(1)=1$ である。$a\geqq 3$ では $q$ は1次式または下向きに開く2次式となり、最小値は端点で生じる。しかも
$q(-1)=3,q(1)=1$ だから条件(B)を満たす。
したがって条件(B)全体は$$a\geqq 2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$である。

一方、$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=1+2a\leqq 6$$より $a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。よって$$2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{.}$$また$$I={\int }_{-1}^1(1+2ax{)}^{2}dx=2+{\displaystyle \frac{8}{3}}{a}^2\mathrm{.}$$この範囲では $a>0$ なので $I$ は $a$ とともに増加する。ゆえに$${\displaystyle \frac{44-16\sqrt{3}}{3}}\leqq I\leqq {\displaystyle \frac{56}{3}}\mathrm{.}$$図は $q$ の軸が区間内にある場合を示す。端点値は常に正であり、
頂点が区間に入るときだけ頂点値の確認が必要になる。