東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

まず $$10000=2^4\cdot 5^4=16\cdot 625$$ である。また，連続する2整数 $a$ と $a-1$ は互いに素であるから，$a(a-1)$ が $16\cdot 625$ で割り切れるかどうかは，各素因数のまとまりが $a$ と $a-1$ のどちらに入るかで決まる。 $a$ は奇数なので，$a$ は $2$ で割り切れない。したがって $a(a-1)$ が $16$ で割り切れるためには $16\mid a-1$ でなければならない。すなわち $a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ である。

次に $625$ について考える。$a$ と $a-1$ は互いに素であるから，$625$ は $a$ または $a-1$ のどちらか一方を割り切る。 $625\mid a-1$ のとき，すでに $16\mid a-1$ であり，$16$ と $625$ は互いに素なので $10000\mid a-1$ となる。よって $a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000)$ である。しかし $3\leqq a\leqq 9999$ にこの合同式を満たす整数は存在しない。 $625\mid a$ のとき，$a=625k$ とおく。範囲 $3\leqq a\leqq 9999$ より $1\leqq k\leqq 15$ である。また $625\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ だから，$a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ は $k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ と同値である。$1\leqq k\leqq 15$ の中でこれを満たすのは $k=1$ だけである。したがって $a=625$ を得る。

実際，$625$ は奇数であり，${625}^2-625=625\cdot 624$ は $625$ と $16$ の両方で割り切れる。$16$ と $625$ は互いに素なので，これは $10000$ で割り切れる。よって求める値は $625$ である。

条件・検算

連続整数の互いに素性により $5^4$ を2因子へ分割できない。候補 $a=1$ は下限3により除外される。

$a(a-1)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ と $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}625)$ を別々に解き、連続整数の互いに素性から得る2組の合同条件を中国剰余定理で統合する。

$a$ は奇数だから$$a(a-1)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$$が成り立つためには$$a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$$でなければならない。

一方、$\gcd (a,a-1)=1$ なので$$a(a-1)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}625)$$から$$a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}625)\text{または}a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}625)$$を得る。

後者と $a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ を合わせると、中国剰余定理により$$a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000)\mathrm{.}$$前者では $a=625k$ とおくと $625\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ だから$$k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16),$$したがって$$a\equiv 625(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000)$$である。ゆえに全解は$$a\equiv 1,625(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000)\mathrm{.}$$$3\leqq a\leqq 9999$ に入るのは$$a=625$$だけである。