東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$P_1=(a,{\displaystyle \frac{1}{a}}),P_2=(b,{\displaystyle \frac{1}{b}})$$ とおく。ただし $a,b\mathrm{\ne }0$ である。条件を $n=2$ に対して用いると$$\overrightarrow{O{P}_1}+\overrightarrow{O{P}_3}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{O{P}_2}$$であるから$$\overrightarrow{O{P}_3}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{O{P}_2}-\overrightarrow{O{P}_1}$$である。したがって $$P_3=({\displaystyle \frac{3}{2}}b-a,{\displaystyle \frac{3}{2b}}-{\displaystyle \frac{1}{a}})$$ である。

この点が曲線 $xy=1$ 上にあるかどうかを調べる。座標の積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle ({\displaystyle \frac{3}{2}}b-a)({\displaystyle \frac{3}{2b}}-{\displaystyle \frac{1}{a}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{3b}{2a}}-{\displaystyle \frac{3a}{2b}}+1}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle ({\displaystyle \frac{3}{2}}b-a)({\displaystyle \frac{3}{2b}}-{\displaystyle \frac{1}{a}})-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{3b}{2a}}-{\displaystyle \frac{3a}{2b}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{3(2a^2-3ab+2b^2)}{4ab}}}\end{array}$$である。ここで$$2a^2-3ab+2b^2=2{(a-{\displaystyle \frac{3}{4}}b)}^2+{\displaystyle \frac{7}{8}}{b}^2>0$$である．よって上の値は0ではない。したがって $({\displaystyle \frac{3}{2}}b-a)({\displaystyle \frac{3}{2b}}-{\displaystyle \frac{1}{a}})\mathrm{\ne }1$ であり，$P_3$ は曲線 $xy=1$ 上にはない。

(2) $$\mathit{u}=\overrightarrow{O{P}_1},\mathit{v}=\overrightarrow{O{P}_2},\mathit{w}=\overrightarrow{O{P}_3}$$とおく。仮定より $$\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{w}\mathrm{\mid }=1$$ である。また条件から $$\mathit{u}+\mathit{w}={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathit{v}$$ である。両辺の長さの2乗を比べると $$\mathrm{\mid }\mathit{u}+\mathit{w}{\mathrm{\mid }}^2={\mid {\displaystyle \frac{3}{2}}\mathit{v}\mid }^2$$ なので $$1+1+2\mathit{u}\cdot \mathit{w}={\displaystyle \frac{9}{4}}$$ となる。よって $$\mathit{u}\cdot \mathit{w}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

また $$\mathit{v}={\displaystyle \frac{2}{3}}(\mathit{u}+\mathit{w})$$ であるから$$\mathit{v}\cdot \mathit{w}={\displaystyle \frac{2}{3}}(\mathit{u}\cdot \mathit{w}+\mathrm{\mid }\mathit{w}{\mathrm{\mid }}^2)={\displaystyle \frac{2}{3}}({\displaystyle \frac{1}{8}}+1)={\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。

条件を $n=3$ に対して用いると $$\mathit{v}+\overrightarrow{O{P}_4}={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathit{w}$$ なので $$\overrightarrow{O{P}_4}={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathit{w}-\mathit{v}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mid \overrightarrow{O{P}_4}\mid }^2}& {\displaystyle ={\mid {\displaystyle \frac{3}{2}}\mathit{w}-\mathit{v}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{\mid }\mathit{w}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2-3\mathit{v}\cdot \mathit{w}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{4}}+1-3\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1}\end{array}$$である。よって $$P_4\text{ も円周 }{x}^2+y^2=1\text{ 上にある}$$ ことが示された。